Prisma je poměrně jednoduchý geometrický trojrozměrný obrazec. Přesto mají někteří školáci problémy s určováním jeho hlavních vlastností, jejichž příčina je zpravidla spojena s nesprávně používanou terminologií. V tomto článku se zamyslíme nad tím, co jsou hranoly, jak se jim říká, a také podrobně popíšeme správný čtyřboký hranol.
Prisma v geometrii
Studium trojrozměrných obrazců je úkolem stereometrie – důležitou součástí prostorové geometrie. Hranolem se ve stereometrii rozumí takový obrazec, který vzniká paralelním posunem libovolného plochého mnohoúhelníku v určité vzdálenosti v prostoru. Paralelní posun znamená pohyb, při kterém je zcela vyloučena rotace kolem osy kolmé k rovině mnohoúhelníku.
Popsaným způsobem získávání hranolu vzniká obrazec ohraničený dvěmapolygony mající stejné rozměry, ležící v rovnoběžných rovinách a určitý počet rovnoběžníků. Jejich počet se shoduje s počtem stran (vrcholů) mnohoúhelníku. Identické polygony se nazývají základny hranolu a jejich plocha je plocha základen. Rovnoběžníky spojující dvě základny tvoří boční plochu.
Prizmatické prvky a Eulerova věta
Vzhledem k tomu, že uvažovaný trojrozměrný obrazec je mnohostěn, to znamená, že je tvořen množinou protínajících se rovin, je charakterizován určitým počtem vrcholů, hran a ploch. Všechny jsou prvky hranolu.
V polovině 18. století švýcarský matematik Leonhard Euler prokázal spojení mezi počtem základních prvků mnohostěnu. Tento vztah je zapsán pomocí následujícího jednoduchého vzorce:
Počet hran=počet vrcholů + počet ploch - 2
Pro jakýkoli hranol platí tato rovnost. Uveďme si příklad jeho použití. Předpokládejme, že existuje pravidelný čtyřboký hranol. Je na obrázku níže.
Je vidět, že počet jeho vrcholů je 8 (4 pro každou čtyřúhelníkovou základnu). Počet stran nebo ploch je 6 (2 základny a 4 boční obdélníky). Potom počet hran pro to bude:
Počet žeber=8 + 6 - 2=12
Všechny z nich lze spočítat, pokud použijete stejný obrázek. Osm hran leží na základnách a čtyři hrany jsou na tyto základny kolmé.
Úplná klasifikace hranolů
Je důležité porozumět této klasifikaci, abyste se později nepletli v terminologii a používali správné vzorce pro výpočet například plochy nebo objemu obrazců.
U každého hranolu libovolného tvaru lze rozlišit 4 znaky, které jej budou charakterizovat. Pojďme si je vyjmenovat:
- Podle počtu rohů mnohoúhelníku na základně: trojúhelníkový, pětiúhelníkový, osmiúhelníkový atd.
- Typ mnohoúhelníku. Může to být správné nebo špatné. Například pravoúhlý trojúhelník je nepravidelný, ale rovnostranný trojúhelník je správný.
- Podle typu konvexnosti polygonu. Může být konkávní nebo konvexní. Nejběžnější jsou konvexní hranoly.
- V úhlech mezi základnami a bočními rovnoběžníky. Pokud jsou všechny tyto úhly rovny 90o, pak hovoří o pravém hranolu, pokud nejsou všechny správné, pak se takový obrazec nazývá šikmý.
Ze všech těchto bodů bych se rád zastavil u posledního. Přímý hranol se také nazývá pravoúhlý hranol. To je způsobeno skutečností, že rovnoběžníky jsou v obecném případě obdélníky (v některých případech to mohou být čtverce).
Například obrázek výše ukazuje pětiúhelníkový konkávní obdélníkový nebo rovný obrázek.
Pravidelný čtyřboký hranol
Základem tohoto hranolu je pravidelný čtyřúhelník, tedy čtverec. Výše uvedený obrázek již ukázal, jak tento hranol vypadá. Kromě dvou čtverců, které jilimit nahoře a dole, zahrnuje také 4 obdélníky.
Strana podstavy pravidelného čtyřbokého hranolu označme písmenem a, délka jeho boční hrany bude označena písmenem c. Tato délka je zároveň výškou postavy. Pak je plocha celého povrchu tohoto hranolu vyjádřena vzorcem:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Zde první člen odráží příspěvek základen k celkové ploše, druhý člen je plocha bočního povrchu.
S ohledem na zavedená označení délek stran napíšeme vzorec pro objem dotyčného obrazce:
V=a2c
To znamená, že objem se vypočítá jako součin plochy čtvercové základny a délky boční hrany.
Tvar krychle
Tento ideální trojrozměrný obrazec zná každý, ale málokdo si myslel, že jde o pravidelný čtyřboký hranol, jehož strana je rovna délce strany čtvercové základny, tedy c=a.
U krychle budou mít vzorce pro celkový povrch a objem tvar:
S=6a2
V=a3
Vzhledem k tomu, že krychle je hranol skládající se ze 6 stejných čtverců, každý z nich může být považován za základnu.
Krychle je vysoce symetrický obrazec, který je v přírodě realizován ve formě krystalových mřížek mnoha kovových materiálů a iontových krystalů. Například mříže ze zlata, stříbra, mědi a stolusoli jsou krychlové.
