Stereometrie je část geometrie, která studuje obrazce, které neleží ve stejné rovině. Jedním z předmětů studia stereometrie jsou hranoly. V článku uvedeme definici hranolu z geometrického hlediska a také stručně uvedeme vlastnosti, které jsou pro něj charakteristické.
Geometrický obrazec
Definice hranolu v geometrii je následující: je to prostorový útvar sestávající ze dvou identických n-úhelníků umístěných v rovnoběžných rovinách, vzájemně spojených svými vrcholy.
Získání hranolu je snadné. Představte si, že existují dva stejné n-úhelníky, kde n je počet stran nebo vrcholů. Umístíme je tak, aby byly navzájem rovnoběžné. Poté by měly být vrcholy jednoho polygonu spojeny s odpovídajícími vrcholy jiného. Vytvořený obrazec se bude skládat ze dvou n-gonálních stran, které se nazývají základny, a n čtyřúhelníkových stran, což jsou v obecném případě rovnoběžníky. Sada rovnoběžníků tvoří boční plochu obrázku.
Je zde ještě jeden způsob, jak geometricky získat dotyčný obrazec. Pokud tedy vezmeme n-úhelník a přeneseme jej do jiné roviny pomocí rovnoběžných segmentů stejné délky, pak v nové rovině dostaneme původní mnohoúhelník. Jak mnohoúhelníky, tak všechny paralelní segmenty nakreslené z jejich vrcholů tvoří hranol.
Obrázek nahoře ukazuje trojúhelníkový hranol. Říká se tomu tak, protože jeho základny jsou trojúhelníky.
Prvky, které tvoří postavu
Výše byla uvedena definice hranolu, z níž je zřejmé, že hlavními prvky postavy jsou její tváře nebo strany, omezující všechny vnitřní body hranolu z vnějšího prostoru. Jakákoli tvář uvažované postavy patří do jednoho ze dvou typů:
- side;
- grounds.
Postranních dílků je n a jsou to rovnoběžníky nebo jejich konkrétní typy (obdélníky, čtverce). Obecně se boční plochy od sebe liší. Existují pouze dvě plochy základny, jsou to n-úhelníky a jsou si navzájem rovné. Každý hranol má tedy n+2 stran.
Postava je kromě stran charakteristická svými vrcholy. Jsou to body, kde se současně dotýkají tři tváře. Kromě toho dvě ze tří tváří vždy patří k boční ploše a jedna - k základně. V hranolu tedy není žádný speciálně vybraný jeden vrchol, jako například v pyramidě jsou všechny stejné. Počet vrcholů obrázku je 2n (n kusů pro každýdůvod).
Konečně, třetím důležitým prvkem hranolu jsou jeho hrany. Jedná se o segmenty určité délky, které jsou vytvořeny jako výsledek průniku stran obrázku. Stejně jako plochy mají i hrany dva různé typy:
- nebo tvořené pouze stranami;
- nebo se objeví na křižovatce rovnoběžníku a strany n-gonální základny.
Počet hran je tedy 3n a 2n z nich jsou druhého typu.
Typy hranolů
Existuje několik způsobů klasifikace hranolů. Všechny jsou však založeny na dvou rysech obrázku:
- na typu n-uhelné báze;
- na straně typu.
Nejprve se podívejme na druhý prvek a definujme přímý a šikmý hranol. Pokud je alespoň jedna strana rovnoběžník obecného typu, pak se obrázek nazývá šikmý nebo šikmý. Pokud jsou všechny rovnoběžníky obdélníky nebo čtverce, bude hranol rovný.
Definici přímého hranolu lze také podat trochu jiným způsobem: rovný obrazec je hranol, jehož boční hrany a plochy jsou kolmé k jeho základnám. Obrázek ukazuje dvě čtyřúhelníkové postavy. Levá je rovná, pravá je šikmá.
Nyní přejdeme k klasifikaci podle typu n-úhelníku ležícího v základnách. Může mít stejné strany a úhly nebo různé. V prvním případě se polygon nazývá pravidelný. Pokud uvažovaný obrázek obsahuje mnohoúhelník s rovnýmstrany a úhly a je přímka, pak se nazývá správná. Podle této definice může mít pravidelný hranol na své základně rovnostranný trojúhelník, čtverec, pravidelný pětiúhelník nebo šestiúhelník a tak dále. Uvedená správná čísla jsou zobrazena na obrázku.
Lineární parametry hranolu
K popisu velikostí uvažovaných figurek se používají následující parametry:
- height;
- základní strany;
- délky bočních žeber;
- 3D úhlopříčky;
- diagonální strany a základny.
U pravidelných hranolů jsou všechny jmenované veličiny ve vzájemném vztahu. Například délky bočních žeber jsou stejné a rovnají se výšce. Pro konkrétní n-gonální pravidelný obrazec existují vzorce, které vám umožní určit zbytek libovolnými dvěma lineárními parametry.
Tvar povrchu
Pokud se odkážeme na výše uvedenou definici hranolu, pak nebude těžké porozumět tomu, co povrch obrazce představuje. Povrch je plocha všech tváří. Pro přímý hranol se vypočítá podle vzorce:
S=2So + Poh
kde So je plocha základny, Po je obvod n-úhelníku na základně, h je výška (vzdálenost mezi základnami).
Objem obrázku
Spolu s povrchem pro cvičení je důležité znát objem hranolu. Lze jej určit podle následujícího vzorce:
V=Soh
Tototento výraz platí pro absolutně jakýkoli druh hranolu, včetně těch, které jsou šikmé a tvořené nepravidelnými mnohoúhelníky.
U běžných hranolů je objem funkcí délky strany základny a výšky postavy. Pro odpovídající n-gonální hranol má vzorec pro V konkrétní tvar.
