Oblast bočního povrchu pravidelného čtyřbokého jehlanu: vzorce a příklady problémů

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Typickými geometrickými problémy v rovině a v trojrozměrném prostoru jsou problémy určování povrchových ploch různých tvarů. V tomto článku uvádíme vzorec pro plochu bočního povrchu pravidelného čtyřbokého jehlanu.

Co je pyramida?

Uveďme přesnou geometrickou definici pyramidy. Předpokládejme, že existuje nějaký mnohoúhelník s n stranami a n rohy. Zvolíme si libovolný bod v prostoru, který nebude v rovině zadaného n-úhelníku, a připojíme jej ke každému vrcholu mnohoúhelníku. Dostaneme obrazec, který má nějaký objem, který se nazývá n-gonální pyramida. Ukažme si například na obrázku níže, jak vypadá pětiboká pyramida.

Dva důležité prvky každé pyramidy jsou její základna (n-úhelník) a vrchol. Tyto prvky jsou navzájem spojeny n trojúhelníky, které se obecně navzájem nerovnají. Kolmice klesla zshora dolů se nazývá výška postavy. Pokud protíná základnu v geometrickém středu (shoduje se s těžištěm mnohoúhelníku), pak se takový jehlan nazývá přímka. Pokud je navíc k této podmínce základna pravidelný mnohoúhelník, pak se celá pyramida nazývá pravidelná. Obrázek níže ukazuje, jak vypadají pravidelné pyramidy s trojúhelníkovými, čtyřúhelníkovými, pětiúhelníkovými a šestihrannými základnami.

Plocha pyramidy

Než přejdeme k otázce plochy bočního povrchu pravidelného čtyřbokého jehlanu, měli bychom se pozastavit nad pojmem samotného povrchu.

Jak je uvedeno výše a znázorněno na obrázcích, každá pyramida je tvořena sadou ploch nebo stran. Jedna strana je základna a n stran jsou trojúhelníky. Povrch celého obrázku je součtem ploch každé z jeho stran.

Je vhodné studovat povrch na příkladu rozvíjející se postavy. Skenování pravidelné čtyřboké pyramidy je znázorněno na obrázcích níže.

Vidíme, že jeho plocha se rovná součtu čtyř ploch identických rovnoramenných trojúhelníků a plochy čtverce.

Celková plocha všech trojúhelníků, které tvoří strany obrázku, se nazývá plocha bočního povrchu. Dále si ukážeme, jak to vypočítat pro pravidelný čtyřboký jehlan.

Plocha boční plochy pravidelného čtyřbokého jehlanu

Pro výpočet plochy laterálupovrchu zadaného obrázku se opět vrátíme k výše uvedenému skenování. Předpokládejme, že známe stranu čtvercové základny. Označme jej symbolem a. Je vidět, že každý ze čtyř stejných trojúhelníků má základnu délky a. Pro výpočet jejich celkové plochy potřebujete znát tuto hodnotu pro jeden trojúhelník. Z kurzu geometrie je známo, že plocha trojúhelníku S_{t se rovná součinu základny a výšky, která by měla být rozdělena na polovinu. To je:}

S_t=1/2h_ba.

Kde h_b je výška rovnoramenného trojúhelníku nakresleného k základně a. Pro pyramidu je tato výška apotémou. Nyní zbývá vynásobit výsledný výraz 4, abychom dostali plochu S_{b bočního povrchu příslušné pyramidy:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Tento vzorec obsahuje dva parametry: apotém a stranu základny. Pokud je ve většině podmínek problémů znám druhý, pak musí být první vypočítaný se znalostí jiných veličin. Zde jsou vzorce pro výpočet apotemy h_{b pro dva případy:}

• když je známa délka bočního žebra;
• když je známa výška pyramidy.

Pokud délku boční hrany (stranu rovnoramenného trojúhelníku) označíme symbolem L, pak je apotema h_{b určena vzorcem:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Tento výraz je výsledkem aplikace Pythagorovy věty pro trojúhelník s boční plochou.

Pokud je známovýška h pyramidy, pak apotema h_{b lze vypočítat následovně:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Získání tohoto výrazu také není obtížné, pokud uvažujeme uvnitř pyramidy pravoúhlý trojúhelník tvořený nohami h a a/2 a přeponou h_b.

Ukažme si, jak tyto vzorce použít, vyřešením dvou zajímavých problémů.

Problém se známou plochou

Je známo, že boční povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je 108 cm². Je nutné vypočítat hodnotu délky jeho apotémy h_{b, je-li výška jehlanu 7 cm.}

Napišme vzorec pro plochu S_{b plochy pláště přes výšku. Máme:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Zde jsme pouze dosadili odpovídající vzorec apotema do výrazu pro S_{b. Odmocnime obě strany rovnice:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Abychom našli hodnotu a, změňme proměnné:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Nyní dosadíme známé hodnoty a vyřešíme kvadratickou rovnici:

t2+ 196t – 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Vypsali jsme pouze kladný kořen této rovnice. Pak strany základny pyramidy budou:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Chcete-li získat délku apotemy,stačí použít vzorec:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 viz}

Boční povrch Cheopsovy pyramidy

Určete hodnotu bočního povrchu největší egyptské pyramidy. Je známo, že na jeho základně leží čtverec o délce strany 230,363 metrů. Výška konstrukce byla původně 146,5 metru. Dosaďte tato čísla do odpovídajícího vzorce pro S_{b, dostaneme:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Nalezená hodnota je o něco větší než plocha 17 fotbalových hřišť.