Při studiu absolutně jakéhokoli prostorového útvaru je důležité vědět, jak vypočítat jeho objem. Tento článek poskytuje vzorec pro objem pravidelného čtyřbokého jehlanu a také ukazuje, jak by měl být tento vzorec použit na příkladu řešení problémů.
O které pyramidě mluvíme?
Každý středoškolák ví, že pyramida je mnohostěn skládající se z trojúhelníků a mnohoúhelníku. Ten je základem obrázku. Trojúhelníky mají jednu společnou stranu se základnou a protínají se v jediném bodě, kterým je vrchol pyramidy.
Každá pyramida je charakterizována délkou stran základny, délkou bočních hran a výškou. Ten je kolmý segment, spuštěný k základně z horní části obrázku.
Pravidelný čtyřboký jehlan je obrazec se čtvercovou základnou, jehož výška protíná tento čtverec v jeho středu. Snad nejznámějším příkladem tohoto typu pyramid jsou starověké egyptské kamenné stavby. Níže je fotkaCheopsovy pyramidy.
Sledovaný obrazec má pět ploch, z nichž čtyři jsou totožné rovnoramenné trojúhelníky. Je také charakterizována pěti vrcholy, z nichž čtyři patří základně, a osmi hranami (4 hrany základny a 4 hrany bočních ploch).
Vzorec pro objem čtyřbokého jehlanu je správný
Objem dotyčné postavy je částí prostoru, který je ohraničen pěti stranami. Pro výpočet tohoto objemu použijeme následující závislost plochy řezu rovnoběžného se základnou pyramidy Sz na vertikální souřadnici z:
Sz=So (h - z/h)2
Zde So je plocha čtvercové základny. Dosadíme-li do psaného výrazu z=h, dostaneme pro Sz nulovou hodnotu. Tato hodnota z odpovídá řezu, který bude obsahovat pouze vrchol pyramidy. Pokud z=0, pak dostaneme hodnotu základní plochy So.
Objem jehlanu lze snadno najít, pokud znáte funkci Sz(z), k tomu stačí rozřezat obrazec na nekonečný počet vrstvy rovnoběžné se základnou a poté proveďte integrační operaci. Postupuji podle této techniky, dostáváme:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Protože S0 jeplocha čtvercové základny, pak, označující stranu čtverce písmenem a, získáme vzorec pro objem pravidelného čtyřbokého jehlanu:
V=1/3a2h.
Pojďme nyní na příkladech řešení problémů ukázat, jak by měl být tento výraz aplikován.
Problém určení objemu pyramidy přes její apotému a boční hranu
Apotéma pyramidy je výška jejího bočního trojúhelníku, který je snížen ke straně základny. Protože jsou všechny trojúhelníky v pravidelné pyramidě stejné, jejich apotémy budou také stejné. Jeho délku označme symbolem hb. Označte boční okraj jako b.
S vědomím, že apotém pyramidy je 12 cm a její boční hrana je 15 cm, zjistěte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu.
Vzorec pro objem obrázku napsaný v předchozím odstavci obsahuje dva parametry: délku strany a a výšku h. Momentálně žádného z nich neznáme, tak se pojďme podívat na jejich výpočty.
Délku strany čtverce a lze snadno vypočítat, pokud použijete Pythagorovu větu pro pravoúhlý trojúhelník, ve kterém přepona je hrana b a nohy jsou apotéma h b a polovina strany základny a/2. Dostáváme:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Dosazením známých hodnot z podmínky dostaneme hodnotu a=18 cm.
Pro výpočet výšky h pyramidy můžete udělat dvě věci: zvažte obdélníktrojúhelník s přeponou-boční hranou nebo s přeponou-apotémou. Obě metody jsou rovnocenné a zahrnují provedení stejného počtu matematických operací. Zůstaňme u úvahy o trojúhelníku, kde přepona je apotéma hb. Nohy v něm budou h a a / 2. Pak dostaneme:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7 937 cm.
Nyní můžete použít vzorec pro objem V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je tedy přibližně 0,86 litru.
Objem Cheopsovy pyramidy
Nyní vyřešíme zajímavý a prakticky důležitý problém: zjistěte objem největší pyramidy v Gíze. Z literatury je známo, že původní výška budovy byla 146,5 metru a délka její základny je 230,363 metru. Tato čísla nám umožňují použít vzorec pro výpočet V. Dostaneme:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Výsledná hodnota je téměř 2,6 milionu m3. Tento objem odpovídá objemu krychle, jejíž strana je 137,4 metru.
