Dihedrální úhly a vzorec pro jejich výpočet. Dihedrální úhel na základně čtyřbokého pravidelného jehlanu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

V geometrii se ke studiu obrazců používají dvě důležité charakteristiky: délky stran a úhly mezi nimi. V případě prostorových obrazců se k těmto charakteristikám přidávají dihedrální úhly. Podívejme se, co to je, a také popišme metodu určování těchto úhlů na příkladu pyramidy.

Koncept dihedrálního úhlu

Každý ví, že dvě protínající se čáry svírají úhel s vrcholem v bodě jejich průsečíku. Tento úhel lze změřit pomocí úhloměru, nebo jej můžete vypočítat pomocí goniometrických funkcí. Úhel tvořený dvěma pravými úhly se nazývá lineární.

Nyní si představte, že v trojrozměrném prostoru existují dvě roviny, které se protínají v přímce. Jsou zobrazeny na obrázku.

Diedrální úhel je úhel mezi dvěma protínajícími se rovinami. Stejně jako lineární se měří ve stupních nebo radiánech. Pokud k některému bodu přímky, podél které se roviny protínají, obnovte dvě kolmice,ležící v těchto rovinách, pak úhel mezi nimi bude požadovaný dihedr. Nejjednodušší způsob, jak určit tento úhel, je použít obecné rovnice rovin.

Rovnice rovin a vzorec pro úhel mezi nimi

Rovnice jakékoli roviny v prostoru obecně je napsána takto:

A × x + B × y + C × z + D=0.

Zde x, y, z jsou souřadnice bodů patřících do roviny, koeficienty A, B, C, D jsou některá známá čísla. Výhodou této rovnosti pro výpočet dihedrálních úhlů je to, že explicitně obsahuje souřadnice směrového vektoru roviny. Budeme jej označovat n¯. Potom:

n¯=(A; B; C).

Vektor n¯ je kolmý k rovině. Úhel mezi dvěma rovinami se rovná úhlu mezi jejich směrovými vektory n₁¯ a n₂¯. Z matematiky je známo, že úhel tvořený dvěma vektory je jednoznačně určen z jejich skalárního součinu. To vám umožní napsat vzorec pro výpočet dihedrálního úhlu mezi dvěma rovinami:

φ=arccos (|(n₁¯ × n₂¯)| / (|n₁ ¯| × |n₂¯|)).

Pokud dosadíme souřadnice vektorů, vzorec bude napsán explicitně:

φ=arccos (|A₁ × A₂ + B₁ × B ₂ + C₁ × C₂| / (√(A₁ 2 ^{+ B}12 ^{+ C}12 ^{) × √(A}22^+B22 ^{+ C}22^))).

Znaménko modulo v čitateli se používá k definování pouze ostrého úhlu, protože dihedrální úhel je vždy menší nebo roven 90^o.

Pyramida a její rohy

Pyramida je obrazec tvořený jedním n-úhelníkem a n trojúhelníky. Zde n je celé číslo rovné počtu stran mnohoúhelníku, který je základnou pyramidy. Tento prostorový obrazec je mnohostěn nebo mnohostěn, protože se skládá z plochých ploch (stran).

Úhly dvoustěnů pyramidového mnohostěnu mohou být dvou typů:

• mezi základnou a stranou (trojúhelník);
• mezi dvěma stranami.

Pokud je pyramida považována za pravidelnou, je snadné pro ni určit pojmenované úhly. K tomu je třeba pomocí souřadnic tří známých bodů sestavit rovnici rovin a poté použít vzorec uvedený v odstavci výše pro úhel φ.

Níže uvádíme příklad, ve kterém ukážeme, jak najít dihedrální úhly na základně pravidelného čtyřbokého jehlanu.

Čtyřboká pravidelná pyramida a úhel na její základně

Předpokládejme, že je dán pravidelný jehlan se čtvercovou základnou. Délka strany čtverce je a, výška obrázku je h. Najděte úhel mezi základnou pyramidy a její stranou.

Umístěme počátek souřadnicového systému do středu čtverce. Pak souřadnice bodůA, B, C, D zobrazené na obrázku budou:

A=(a/2; -a/2; 0);

B=(a/2; a/2; 0);

C=(-a/2; a/2; 0);

D=(0; 0; h).

Uvažujme roviny ACB a ADB. Je zřejmé, že směrový vektor n₁¯ pro rovinu ACB bude:

₁¯=(0; 0; 1).

Chcete-li určit směrový vektor n₂¯ roviny ADB, postupujte následovně: najděte dva libovolné vektory, které k ní patří, například AD¯ a AB¯, pak vypočítat jejich vektorovou práci. Jeho výsledkem budou souřadnice n₂¯. Máme:

AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);

AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);

₂¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a²/2).

Vzhledem k tomu, že násobení a dělení vektoru číslem nemění jeho směr, transformujeme výsledné n₂¯ vydělením jeho souřadnic číslem -a, dostaneme:

₂¯=(h; 0; a/2).

Definovali jsme vektorová vodítka n₁¯ a n₂¯ pro postranní roviny ACB a ADB. Zbývá použít vzorec pro úhel φ:

φ=arccos (|(n₁¯ × n₂¯)| / (|n₁ ¯| × |n₂¯|))=arccos (a / (2 × √h² + a 2^/4)).

Transformujte výsledný výraz a přepište jej takto:

φ=arccos (a / √(a²+ 4 × h²)).

Získali jsme vzorec pro úhel vzepětí v základně pravidelného čtyřbokého jehlanu. Znáte-li výšku postavy a délku její strany, můžete vypočítat úhel φ. Například pro Cheopsovu pyramidu, jejíž základní strana je 230,4 metru a počáteční výška byla 146,5 metru, bude úhel φ 51,8^o.

Je také možné určit dihedrální úhel pro čtyřboký pravidelný jehlan pomocí geometrické metody. K tomu stačí uvažovat pravoúhlý trojúhelník tvořený výškou h, polovinou délky základny a/2 a apotémou rovnoramenného trojúhelníku.