V matematice a zpracování je koncept analytického signálu (zkráceně C, AC) komplexní funkcí, která nemá záporné frekvenční složky. Reálnou a imaginární částí tohoto jevu jsou reálné funkce, které spolu souvisí Hilbertovou transformací. Analytický signál je v chemii poměrně běžný jev, jehož podstata je podobná matematické definici tohoto pojmu.
Výkony
Analytická reprezentace reálné funkce je analytický signál obsahující původní funkci a její Hilbertovu transformaci. Tato reprezentace usnadňuje mnoho matematických manipulací. Hlavní myšlenkou je, že negativní frekvenční složky Fourierovy transformace (neboli spektra) reálné funkce jsou nadbytečné kvůli hermitovské symetrii takového spektra. Tyto záporné frekvenční složky mohou být vyřazeny bezztrátu informací za předpokladu, že se místo toho chcete zabývat složitou funkcí. To zpřístupňuje určité atributy funkcí a usnadňuje odvození modulačních a demodulačních technik, jako je SSB.
Záporné složky
Dokud funkce, se kterou se manipuluje, nemá žádné záporné frekvenční složky (tj. je stále analytická), je převod z komplexní zpět na reálnou jednoduše otázkou zahození imaginární části. Analytická reprezentace je zobecněním konceptu vektoru: zatímco vektor je omezen na časově neměnnou amplitudu, fázi a frekvenci, kvalitativní analýza analytického signálu umožňuje časově proměnné parametry.
Okamžitá amplituda, okamžitá fáze a frekvence se v některých aplikacích používají k měření a detekci místních vlastností C. Další aplikace analytické reprezentace se týká demodulace modulovaných signálů. Polární souřadnice pohodlně oddělují účinky AM a fázové (nebo frekvenční) modulace a účinně demodulují určité druhy.
Pak jednoduchý dolní propust s reálnými koeficienty může odříznout část zájmu. Dalším motivem je snížení maximální frekvence, čímž se sníží minimální frekvence pro non-alias vzorkování. Posun frekvence nepodkopává matematickou užitečnost reprezentace. V tomto smyslu je tedy downconverted stále analytický. Nicméně obnovení skutečné reprezentacejiž není jednoduchou záležitostí pouhého vyjmutí skutečné složky. Může být vyžadována konverze nahoru, a pokud je signál vzorkován (diskrétní čas), může být také vyžadována interpolace (převzorkování), aby se zabránilo aliasingu.
Proměnné
Pojem je dobře definován pro jednotlivé proměnné jevy, které jsou obvykle dočasné. Tato dočasnost mate mnoho začínajících matematiků. Pro dvě nebo více proměnných lze analytický C definovat různými způsoby a níže jsou uvedeny dva přístupy.
Skutečné a imaginární části tohoto jevu odpovídají dvěma prvkům vektorově hodnoceného monogenního signálu, jak je definován pro podobné jevy s jednou proměnnou. Monogenní však lze jednoduchým způsobem rozšířit na libovolný počet proměnných a vytvořit (n + 1)-rozměrnou vektorovou funkci pro případ signálů n-proměnných.
Konverze signálu
Reálný signál můžete převést na analytický přidáním imaginární (Q) složky, což je Hilbertova transformace reálné složky.
Mimochodem, v digitálním zpracování to není nic nového. Jeden z tradičních způsobů generování AM (single sideband, SSB) AM, metoda fázování, zahrnuje vytváření signálů generováním Hilbertovy transformace audio signálu v analogové síti odpor-kondenzátor. Protože má pouze kladné frekvence, je snadné jej převést na modulovaný RF signál pouze s jedním postranním pásmem.
Vzorce definice
Výraz analytického signálu je holomorfní komplexní funkce definovaná na hranici horní komplexní poloroviny. Hranice horní poloroviny se shoduje s náhodnou, takže C je dáno mapováním fa: R → C. Od poloviny minulého století, kdy Denis Gabor v roce 1946 navrhl využít tento jev ke studiu konstantní amplitudy a fáze, signál našel mnoho aplikací. Zvláštnost tohoto jevu byla zdůrazněna [Vak96], kde se ukázalo, že pouze kvalitativní analýza analytického signálu odpovídá fyzikálním podmínkám pro amplitudu, fázi a frekvenci.
Poslední úspěchy
Během několika posledních desetiletí se objevil zájem o studium signálu v mnoha dimenzích, motivovaný problémy vznikajícími v oblastech od zpracování obrazu/videa po multidimenzionální oscilační procesy ve fyzice, jako jsou seismické, elektromagnetické a gravitační vlny. Všeobecně bylo přijímáno, že pro správné zobecnění analytického C (kvalitativní analýza) na případ několika dimenzí je třeba spoléhat se na algebraickou konstrukci, která pohodlným způsobem rozšiřuje běžná komplexní čísla. Takové konstrukce se obvykle nazývají hyperkomplexní čísla [SKE].
Konečně by mělo být možné sestrojit hyperkomplexní analytický signál fh: Rd → S, kde je reprezentován nějaký obecný hyperkomplexní algebraický systém, který přirozeně rozšiřuje všechny požadované vlastnosti pro získání okamžité amplitudy afáze.
Studie
Řada prací je věnována různým otázkám souvisejícím se správnou volbou hyperkomplexní číselné soustavy, definicí hyperkomplexní Fourierovy transformace a zlomkové Hilbertovy transformace pro studium okamžité amplitudy a fáze. Většina této práce byla založena na vlastnostech různých prostorů, jako je Cd, quaterniony, Clearonovy algebry a Cayley-Dixonovy konstrukce.
Dále uvedeme pouze některé práce věnované studiu signálu v mnoha dimenzích. Pokud je nám známo, první práce o multivariační metodě byly získány na počátku 90. let 20. století. Mezi ně patří Ellova práce [Ell92] o hyperkomplexních transformacích; Bulowova práce na zobecnění metody analytické reakce (analytický signál) na mnoho měření [BS01] a práce Felsberga a Sommera o monogenních signálech.
Další vyhlídky
Očekává se, že hyperkomplexní signál rozšíří všechny užitečné vlastnosti, které máme v 1D případě. Nejprve musíme být schopni extrahovat a zobecnit okamžitou amplitudu a fázi na měření. Za druhé, Fourierovo spektrum komplexního analytického signálu je udržováno pouze na kladných frekvencích, takže očekáváme, že hyperkomplexní Fourierova transformace bude mít své vlastní hypervaluované spektrum, které bude zachováno pouze v nějakém kladném kvadrantu hyperkomplexního prostoru. Protože je to velmi důležité.
Za třetí, konjugované části komplexního konceptuanalytického signálu souvisí s Hilbertovou transformací a můžeme očekávat, že konjugované složky v hyperkomplexním prostoru musí také souviset s nějakou kombinací Hilbertových transformací. A konečně, hyperkomplexní signál musí být skutečně definován jako rozšíření nějaké hyperkomplexní holomorfní funkce několika hyperkomplexních proměnných definovaných na hranici nějaké formy v hyperkomplexním prostoru.
Tyto problémy řešíme v sekvenčním pořadí. Nejprve se podíváme na Fourierův integrální vzorec a ukážeme si, že Hilbertova transformace na 1-D souvisí s upraveným Fourierovým integrálním vzorcem. Tato skutečnost nám umožňuje definovat okamžitou amplitudu, fázi a frekvenci bez jakéhokoli odkazu na hyperkomplexní číselné soustavy a holomorfní funkce.
Úprava integrálů
Pokračujeme rozšířením upraveného Fourierova integrálního vzorce do několika dimenzí a určíme všechny potřebné fázově posunuté složky, které můžeme shromáždit do okamžité amplitudy a fáze. Zadruhé se obracíme k otázce existence holomorfních funkcí několika hyperkomplexních proměnných. Po [Sch93] se ukazuje, že komutativní a asociativní hyperkomplexní algebra generovaná sadou eliptických (e2i=−1) generátorů je vhodným prostorem pro život hyperkomplexního analytického signálu, takové hyperkomplexní algebře říkáme Schaefersův prostor a toSd.
Hyperkomplex analytických signálů je proto definován jako holomorfní funkce na hranici polydisku / horní poloviny roviny v nějakém hyperkomplexním prostoru, kterému říkáme obecný Schaefersův prostor a označujeme ho Sd. Poté pozorujeme platnost Cauchyho integrálního vzorce pro funkce Sd → Sd, které jsou počítány přes hyperplochu uvnitř polydisku v Sd, a odvozujeme odpovídající zlomkové Hilbertovy transformace, které se týkají hyperkomplexních konjugovaných komponent. Nakonec se ukazuje, že Fourierova transformace s hodnotami v Schaefersově prostoru je podporována pouze na nezáporných frekvencích. Díky tomuto článku jste se dozvěděli, co je to analytický signál.
