Tento článek jednoduše vysvětlí Black-Scholesův vzorec. Black-Scholesův model je matematický model dynamiky finančního trhu obsahujícího derivátové investiční nástroje.
Z parciální diferenciální rovnice v modelu (známé jako Black-Scholesova rovnice) lze odvodit Black-Scholesův vzorec. Udává teoretickou cenu opce evropského typu a ukazuje, že opce má jedinečnou cenu bez ohledu na riziko cenného papíru a jeho očekávaný výnos (namísto nahrazení očekávaného výnosu cenného papíru rizikově neutrální sazbou).
Vzorec vedl k rozmachu obchodování s opcemi a dal matematickou legitimitu Chicago Board Options Exchange a dalším opčním trhům po celém světě. Je široce používán, i když často s úpravami a korekcemi, účastníky opčního trhu. Na obrázcích v tomto článku můžete vidět příklady Black-Scholesova vzorce.
Historie a podstata
Založeno na práci dříve vyvinuté výzkumníky a odborníky z praxetrhy jako Louis Bachelier, Sheen Kassouf a Ed Thorpe, Fisher Black a Myron Scholes koncem 60. let prokázaly, že dynamická revize portfolia eliminovala očekávaný návrat bezpečnosti.
V roce 1970, poté, co se pokusili aplikovat vzorec na trhy a utrpěli finanční ztráty kvůli nedostatečnému řízení rizik ve svých profesích, se rozhodli zaměřit se na svůj obor, akademickou sféru. Po třech letech úsilí byl vzorec, pojmenovaný po jejich vyhlášení, konečně publikován v roce 1973 v článku nazvaném „Pricing Options and Corporate Bonds“v Journal of Political Economy. Robert S. Merton byl první, kdo publikoval článek rozšiřující matematické chápání modelu oceňování opcí a vytvořil termín „Black-Scholesův cenový model“.
Za svou práci obdrželi Merton a Scholes v roce 1997 Nobelovu cenu za ekonomii, výbor, přičemž uvedli svůj objev dynamické revize nezávislé na riziku jako průlom, který odděluje možnost od základního bezpečnostního rizika. I když cenu kvůli své smrti v roce 1995 nedostal, švédský akademik zmínil Blacka jako účastníka. Na obrázku níže můžete vidět typický Black-Scholesův vzorec.
Options
Hlavní myšlenkou tohoto modelu je zajistit opci správným nákupem a prodejem podkladového aktiva a v důsledku toho eliminovat riziko. Tento typ zajištění se nazývá „neustále aktualizované delta zajištění“. Onje základem pro složitější strategie, jaké používají investiční banky a hedgeové fondy.
Řízení rizik
Předpoklady modelu byly uvolněny a zobecněny v mnoha směrech, což vedlo k řadě modelů používaných v současnosti při oceňování derivátů a řízení rizik. Právě chápání modelu, jak ukazuje Black-Scholesův vzorec, je často používáno účastníky trhu, na rozdíl od skutečných cen. Tyto podrobnosti zahrnují žádné arbitrážní limity a rizikově neutrální ceny (kvůli neustálému přezkumu). Kromě toho Black-Scholesova rovnice, parciální diferenciální rovnice, která určuje cenu opce, umožňuje, aby byly ceny stanoveny numericky, když není možný explicitní vzorec.
Vatilita
Black-Scholesův vzorec má pouze jeden parametr, který nelze na trhu přímo pozorovat: průměrnou budoucí volatilitu podkladového aktiva, i když ji lze nalézt na ceně jiných opcí. Jak se hodnota parametru (ať už put nebo call) v tomto parametru zvyšuje, může být invertován, aby se vytvořila „plocha volatility“, která se pak používá ke kalibraci dalších vzorů, jako jsou OTC deriváty.
S ohledem na tyto předpoklady předpokládejme, že tento trh také obchoduje s deriváty. Uvádíme, že tento cenný papír bude mít určitou výplatu k určitému datu v budoucnu v závislosti na hodnotě, kterou akcie převezme.před tímto datem. Cena derivátu je nyní překvapivě zcela určena, i když nevíme, jakou cestou se bude cena akcie v budoucnu ubírat.
Pro zvláštní případ evropské call nebo put opce Black and Scholes ukázali, že je možné vytvořit zajištěnou pozici skládající se z dlouhé pozice na akcii a krátké pozice na opci, jejíž hodnota nezávisí na ceně akcií. Jejich dynamická zajišťovací strategie vyústila v parciální diferenciální rovnici, která určovala cenu opce. Jeho řešení je dáno Black-Scholesovým vzorcem.
Rozdíl pojmů
Black-Scholesův vzorec pro excel lze interpretovat tak, že nejprve rozdělíte kupní opci na rozdíl dvou binárních opcí. Call opce vymění hotovost za aktivum při vypršení platnosti, zatímco call aktivum s aktivem nebo bez něj jednoduše přinese aktivum (žádná hotovost na výměnu) a bezhotovostní call jednoduše vrátí peníze (žádná výměna aktiva)). Black-Scholesův vzorec pro opci je rozdílem dvou termínů a tyto dva termíny se rovnají hodnotě binárních kupních opcí. Tyto binární opce se obchodují mnohem méně často než vanilkové opce, ale snáze se analyzují.
V praxi jsou některé hodnoty citlivosti obvykle zkráceny, aby odpovídaly škále pravděpodobných změn parametrů. Často se například uvádí rho děleno 10 000 (změna o 1 základní bod), vega 100 (změna o 1 objemový bod) a theta 365.nebo 252 (1denní čerpání na základě kalendářních dnů nebo obchodních dnů v roce).
Výše uvedený model lze rozšířit o variabilní (ale deterministické) sazby a volatilitu. Model lze také použít k ocenění evropských opcí na nástroje výplaty dividend. V tomto případě jsou k dispozici uzavřená řešení, pokud je dividenda známá podílem na ceně akcie. Americké a akciové opce, které vyplácejí známou hotovostní dividendu (realističtější než proporcionální dividenda v krátkodobém horizontu), je obtížnější ocenit a je k dispozici výběr metod řešení (např. mřížky a mřížky).
Přístup
Užitečná aproximace: ačkoli volatilita není konstantní, výsledky modelu často pomáhají nastavit zajištění ve správných proporcích, aby se minimalizovalo riziko. I když výsledky nejsou zcela přesné, slouží jako první přiblížení, které lze upravit.
Základní pro lepší modely: Black-Scholesův model je robustní v tom smyslu, že jej lze upravit tak, aby se vyrovnal s některými jeho selháními. Místo abychom s některými parametry (jako je volatilita nebo úrokové sazby) zacházeli jako s konstantami, zacházíme s nimi jako s proměnnými a přidáváme tak zdroje rizika.
To se odráží u Řeků (změna hodnoty opce za účelem změny těchto parametrů nebo ekvivalentu parciálních derivátů s ohledem na tyto proměnné) a zajištění těchto Řekůsnižuje riziko způsobené proměnlivým charakterem těchto parametrů. Jiné vady však nelze změnou modelu odstranit, zejména riziko ocasu a riziko likvidity, a místo toho jsou řízeny mimo model, zejména minimalizací těchto rizik a zátěžovým testováním.
Explicitní modelování
Explicitní modelování: Tato funkce znamená, že místo toho, abyste a priori předpokládali volatilitu a vypočítávali z ní ceny, můžete k určení volatility použít model, který udává implikovanou volatilitu opce při daných cenách, časech a realizačních cenách. Vyřešením volatility v průběhu daného souboru trvání stávek a cen lze sestavit povrch implikované volatility.
V této aplikaci Black-Scholesova modelu je získána transformace souřadnic z cenové oblasti do oblasti volatility. Namísto uvádění cen opcí v dolarech za jednotku (které je obtížné porovnat na základě stávek, trvání a četnosti kuponů) mohou být ceny opcí kótovány z hlediska implikované volatility, což vede k obchodování s volatilitou na opčních trzích.
