Důležitým pojmem v matematice je funkce. S jeho pomocí můžete vizualizovat mnoho procesů probíhajících v přírodě, odrážet vztah mezi určitými veličinami pomocí vzorců, tabulek a obrázků v grafu. Příkladem je závislost tlaku vrstvy kapaliny na těleso na hloubce ponoření, zrychlení - na působení určité síly na předmět, zvýšení teploty - na předané energii a mnoho dalších procesů. Studium funkce zahrnuje konstrukci grafu, objasnění jeho vlastností, rozsahu a hodnot, intervalů nárůstu a poklesu. Důležitým bodem v tomto procesu je nalezení extrémních bodů. O tom, jak to udělat správně, a konverzace bude pokračovat.
O samotném konceptu na konkrétním příkladu
V medicíně může vykreslení funkčního grafu vypovídat o postupu onemocnění v těle pacienta a vizuálně odrážet jeho stav. Předpokládejme, že čas ve dnech je vynesen podél osy OX a teplota lidského těla je vynesena podél osy OY. Obrázek jasně ukazuje, jak tento ukazatel prudce stoupá, apak to spadne. Je také snadné si všimnout singulárních bodů, které odrážejí okamžiky, kdy funkce, která se předtím zvýšila, začíná klesat a naopak. Toto jsou extrémní body, tedy kritické hodnoty (maximum a minimum) v tomto případě teploty pacienta, po kterých dochází ke změnám jeho stavu.
Úhel náklonu
Z obrázku je snadné určit, jak se mění derivace funkce. Pokud přímky grafu jdou v průběhu času nahoru, pak je to kladné. A čím jsou strmější, tím větší je hodnota derivace, protože úhel sklonu se zvyšuje. Během období poklesu nabývá tato hodnota záporných hodnot, v extrémních bodech se mění na nulu a graf derivace v druhém případě je nakreslen rovnoběžně s osou OX.
Jakýkoli jiný proces by měl být zpracován stejným způsobem. Ale to nejlepší na tomto konceptu může říct pohyb různých těles, jasně znázorněný na grafech.
Pohyb
Předpokládejme, že se nějaký předmět pohybuje přímočaře a rovnoměrně nabírá rychlost. V tomto období změna souřadnic tělesa graficky představuje určitou křivku, kterou by matematik nazval větví paraboly. Zároveň se funkce neustále zvyšuje, protože ukazatele souřadnic se každou sekundou mění rychleji a rychleji. Rychlostní graf ukazuje chování derivace, jejíž hodnota také roste. To znamená, že pohyb nemá žádné kritické body.
Pokračovalo by to donekonečna. Pokud se ale tělo náhle rozhodne zpomalit, zastavte se a začněte se pohybovat v jinémsměr? V tomto případě se začnou souřadnicové ukazatele snižovat. A funkce překročí kritickou hodnotu a změní se z rostoucí na klesající.
V tomto příkladu můžete opět pochopit, že extrémní body na grafu funkce se objevují ve chvílích, kdy přestává být monotónní.
Fyzikální význam odvozeniny
Popsaný dříve jasně ukázal, že derivace je v podstatě rychlost změny funkce. Toto upřesnění obsahuje svůj fyzický význam. Extrémní body jsou kritické oblasti na grafu. Je možné je zjistit a detekovat výpočtem hodnoty derivace, která se ukáže být rovna nule.
Je zde ještě jeden znak, který je postačující podmínkou pro extrém. Derivace v takových místech inflexe mění své znaménko: z "+" na "-" v oblasti maxima a z "-" na "+" v oblasti minima.
Pohyb pod vlivem gravitace
Představme si jinou situaci. Děti, které si hrály s míčem, ho házely tak, že se začal pohybovat šikmo k horizontu. V počátečním okamžiku byla rychlost tohoto objektu největší, ale vlivem gravitace začala klesat a s každou sekundou o stejnou hodnotu, rovnající se přibližně 9,8 m/s2. Jde o hodnotu zrychlení, ke kterému dochází vlivem zemské gravitace při volném pádu. Na Měsíci by byl asi šestkrát menší.
Graf popisující pohyb těla je parabola s větvemi,dolů. Jak najít extrémní body? V tomto případě se jedná o vrchol funkce, kde rychlost tělesa (koule) nabývá nulové hodnoty. Derivace funkce se stane nulou. V tomto případě se směr a tím i hodnota rychlosti změní na opačný. Těleso letí dolů každou sekundou rychleji a rychleji a zrychluje o stejnou hodnotu - 9,8 m/s2.
Druhý derivát
V předchozím případě je graf modulu rychlosti nakreslen jako přímka. Tato čára směřuje nejprve dolů, protože hodnota této veličiny neustále klesá. Po dosažení nuly v jednom z časových bodů se ukazatele této hodnoty začnou zvyšovat a směr grafického znázornění modulu rychlosti se dramaticky změní. Čára nyní směřuje nahoru.
Rychlost, která je časovou derivací souřadnice, má také kritický bod. V této oblasti se funkce, zpočátku klesající, začíná zvyšovat. Toto je místo extrémního bodu derivace funkce. V tomto případě bude sklon tečny nulový. A zrychlení, které je druhou derivací souřadnic s ohledem na čas, změní znaménko z „-“na „+“. A pohyb z rovnoměrně pomalého se stane rovnoměrně zrychlený.
Tabulka zrychlení
Nyní zvažte čtyři obrázky. Každý z nich zobrazuje graf časové změny takové fyzikální veličiny, jako je zrychlení. V případě „A“zůstává jeho hodnota kladná a konstantní. To znamená, že rychlost těla, stejně jako jeho souřadnice, se neustále zvyšuje. Pokudpředstavte si, že se objekt bude takto pohybovat nekonečně dlouho, ukáže se, že funkce odrážející závislost souřadnice na čase bude neustále narůstat. Z toho vyplývá, že nemá žádné kritické oblasti. Na grafu derivace také nejsou žádné extrémní body, tj. lineárně se měnící rychlost.
Totéž platí pro případ „B“s kladným a neustále rostoucím zrychlením. Pravda, grafy souřadnic a rychlosti zde budou poněkud složitější.
Když má zrychlení tendenci k nule
Při prohlížení obrázku "B" můžete vidět úplně jiný obrázek, který charakterizuje pohyb těla. Jeho rychlost bude graficky znázorněna jako parabola s větvemi směřujícími dolů. Pokud budeme pokračovat v přímce popisující změnu zrychlení, dokud se neprotne s osou OX, a dále, pak si můžeme představit, že až do této kritické hodnoty, kdy se zrychlení rovná nule, se rychlost objektu zvýší. stále pomaleji. Extrémní bod derivace souřadnicové funkce bude právě v horní části paraboly, poté tělo radikálně změní povahu pohybu a začne se pohybovat opačným směrem.
Ve druhém případě, „G“, nelze povahu pohybu přesně určit. Zde víme pouze to, že po nějaké uvažované období nedochází k žádnému zrychlení. To znamená, že předmět může zůstat na místě nebo se pohyb odehrává konstantní rychlostí.
Úkol přidání souřadnic
Přejděme k úlohám, které se často vyskytují při studiu algebry ve škole a jsou nabízeny propříprava na zkoušku. Obrázek níže ukazuje graf funkce. Je nutné vypočítat součet extrémních bodů.
Udělejme to pro osu y určením souřadnic kritických oblastí, kde je pozorována změna v charakteristikách funkce. Jednoduše řečeno, najdeme hodnoty podél osy x pro inflexní body a poté přistoupíme k přidání výsledných členů. Podle grafu je zřejmé, že nabývají následujících hodnot: -8; -7; -5; -3; -2; jeden; 3. To je výsledek -21, což je odpověď.
Optimální řešení
Není nutné vysvětlovat, jak důležitá může být volba optimálního řešení při plnění praktických úkolů. Koneckonců existuje mnoho způsobů, jak dosáhnout cíle, a nejlepší cesta je zpravidla pouze jedna. To je extrémně nutné například při navrhování lodí, kosmických lodí a letadel, architektonických struktur pro nalezení optimálního tvaru těchto umělých objektů.
Rychlost vozidel do značné míry závisí na kompetentní minimalizaci odporu, který zažívají při pohybu vodou a vzduchem, z přetížení vznikajících pod vlivem gravitačních sil a mnoha dalších ukazatelů. Loď na moři potřebuje takové vlastnosti, jako je stabilita během bouře, pro říční loď je důležitý minimální ponor. Při výpočtu optimálního návrhu mohou extrémní body v grafu vizuálně poskytnout představu o nejlepším řešení složitého problému. Úkoly tohoto druhu jsou častose řeší v ekonomice, v ekonomických oblastech, v mnoha dalších životních situacích.
Z dávné historie
Extrémní problémy zaměstnávaly i starověké mudrce. Řečtí vědci úspěšně rozluštili záhadu oblastí a objemů pomocí matematických výpočtů. Jako první pochopili, že na rovině různých obrazců se stejným obvodem má kruh vždy největší plochu. Podobně je koule vybavena maximálním objemem mezi ostatními objekty ve vesmíru se stejnou plochou. Řešení takových problémů se věnovaly takové slavné osobnosti jako Archimedes, Euclid, Aristoteles, Apollonius. Heron velmi dobře uspěl v nalezení extrémních bodů, který se uchýlil k výpočtům a postavil důmyslná zařízení. Jednalo se o automatické stroje pohybující se pomocí páry, čerpadla a turbíny fungující na stejném principu.
Výstavba Kartága
Existuje legenda, jejíž děj je založen na vyřešení jednoho z extrémních problémů. Výsledkem obchodního přístupu, který předvedla fénická princezna, která se obrátila na mudrce o pomoc, byla stavba Kartága. Pozemek pro toto starobylé a slavné město předložil Dido (tak se jmenoval vládce) vůdce jednoho z afrických kmenů. Plocha parcely se mu zpočátku nezdála příliš velká, protože podle smlouvy musela být pokryta volskou kůží. Ale princezna nařídila svým vojákům, aby to nakrájeli na tenké proužky a vytvořili z nich pás. Ukázalo se, že to bylo tak dlouhé, že to pokrylo web,kam se vejde celé město.
Původ kalkulu
A nyní se přenesme z dávných dob do pozdější doby. Zajímavé je, že v 17. století přiměl Kepler k pochopení základů matematické analýzy setkání s prodejcem vína. Obchodník byl ve své profesi tak zběhlý, že dokázal snadno určit objem nápoje v sudu pouhým spuštěním železného turniketu. S ohledem na takovou kuriozitu se slavnému vědci podařilo vyřešit toto dilema pro sebe. Ukazuje se, že šikovní bednáři té doby se naučili vyrábět nádoby tak, že při určité výšce a poloměru obvodu upevňovacích kroužků by měly maximální kapacitu.
Toto bylo pro Keplera důvodem k dalšímu zamyšlení. Bochars došel k optimálnímu řešení dlouhým hledáním, chybami a novými pokusy, předáváním zkušeností z generace na generaci. Kepler ale chtěl proces urychlit a pomocí matematických výpočtů se naučit, jak udělat totéž v krátkém čase. Veškerý jeho vývoj, který zachytili kolegové, se změnil v nyní známé Fermatovy a Newtonovy teorémy - Leibniz.
Problém s maximální oblastí
Představme si, že máme drát o délce 50 cm. Jak z něj vytvořit obdélník s největší plochou?
Na začátku rozhodování by člověk měl vycházet z jednoduchých a známých pravd. Je jasné, že obvod naší postavy bude 50 cm. Také se skládá z dvojnásobných délek obou stran. To znamená, že po označení jednoho z nich jako „X“lze druhý vyjádřit jako (25 - X).
Odtud se dostávámeplocha rovna X (25 - X). Tento výraz může být reprezentován jako funkce, která nabývá mnoha hodnot. Řešení problému vyžaduje najít maximum z nich, což znamená, že byste měli zjistit extrémní body.
Za tímto účelem najdeme první derivaci a přirovnáme ji k nule. Výsledkem je jednoduchá rovnice: 25 - 2X=0.
Z toho se dozvídáme, že jedna ze stran X=12, 5.
Proto další: 25 – 12, 5=12, 5.
Ukazuje se, že řešením problému bude čtverec o straně 12,5 cm.
Jak zjistit maximální rychlost
Uvažujme ještě jeden příklad. Představte si, že existuje těleso, jehož přímočarý pohyb je popsán rovnicí S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, kde vzdálenost ujetá vzdálenost je vyjádřena v metrech a čas je v sekundách. Je nutné zjistit maximální rychlost. Jak to udělat? Staženo najít rychlost, tedy první derivaci.
Dostaneme rovnici: V=- 3t2 + 18t – 24. Nyní, abychom problém vyřešili, musíme znovu najít extrémní body. To musí být provedeno stejným způsobem jako v předchozím úkolu. Najděte první derivaci rychlosti a přirovnejte ji k nule.
Dostáváme: - 6t + 18=0. Proto t=3 s. To je doba, kdy rychlost těla nabývá kritické hodnoty. Získaná data dosadíme do rovnice rychlosti a dostaneme: V=3 m/s.
Jak ale pochopit, že jde přesně o maximální rychlost, protože kritickými body funkce mohou být její maximální nebo minimální hodnoty? Chcete-li to zkontrolovat, musíte najít sekunduderivace rychlosti. Vyjadřuje se jako číslo 6 se znaménkem mínus. To znamená, že nalezený bod je maximum. A v případě kladné hodnoty druhé derivace by jich bylo minimum. Nalezené řešení se tedy ukázalo jako správné.
Úlohy uvedené jako příklad jsou pouze částí těch, které lze vyřešit tím, že umíme najít extrémní body funkce. Ve skutečnosti je jich mnohem více. A takové znalosti otevírají lidské civilizaci neomezené možnosti.
