Letadlo ve vesmíru. Umístění letadel ve vesmíru

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Rovina je geometrický objekt, jehož vlastnosti se používají při konstrukci průmětů bodů a čar a také při výpočtu vzdáleností a dihedrálních úhlů mezi prvky trojrozměrných obrazců. Pojďme se v tomto článku zamyslet nad tím, jaké rovnice lze použít ke studiu polohy letadel ve vesmíru.

Definice roviny

Každý si intuitivně představí, o jakém předmětu bude řeč. Z geometrického hlediska je rovina sbírka bodů, mezi nimiž musí být libovolné vektory kolmé na nějaký jeden vektor. Pokud je například v prostoru m různých bodů, lze z nich vytvořit m(m-1) / 2 různé vektory, které spojí body do dvojic. Pokud jsou všechny vektory kolmé k některému jednomu směru, pak je postačující podmínkou, aby všechny body m patřily do stejné roviny.

Obecná rovnice

V prostorové geometrii je rovina popsána pomocí rovnic, které obecně obsahují tři neznámé souřadnice odpovídající osám x, yaz. Nazískat obecnou rovnici v rovinných souřadnicích v prostoru, předpokládejme, že existuje vektor n¯(A; B; C) a bod M(x₀; y₀; z_{0). Pomocí těchto dvou objektů lze rovinu jednoznačně definovat.}

Předpokládejme, že existuje nějaký druhý bod P(x; y; z), jehož souřadnice nejsou známy. Podle výše uvedené definice musí být vektor MP¯ kolmý k n¯, to znamená, že jejich skalární součin je roven nule. Pak můžeme napsat následující výraz:

(n¯MP¯)=0 nebo

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Otevřením závorek a zavedením nového koeficientu D dostaneme výraz:

Ax + By + Cz + D=0, kde D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Tento výraz se nazývá obecná rovnice pro rovinu. Je důležité si uvědomit, že koeficienty před x, yaz tvoří souřadnice vektoru n¯(A; B; C) kolmého k rovině. Shoduje se s normálem a je vodítkem pro letadlo. Pro určení obecné rovnice nezáleží na tom, kam tento vektor směřuje. To znamená, že roviny postavené na vektorech n¯ a -n¯ budou stejné.

Obrázek nahoře ukazuje rovinu, vektor k ní kolmý a přímku kolmou k rovině.

Segmenty odříznuté rovinou na osách a odpovídající rovnice

Obecná rovnice umožňuje pomocí jednoduchých matematických operací určit, vv jakých bodech bude rovina protínat souřadnicové osy. Tyto informace je důležité znát, abychom měli představu o poloze letadla v prostoru a také při jeho znázornění na výkresech.

K určení pojmenovaných průsečíků se používá rovnice v segmentech. Nazývá se tak proto, že explicitně obsahuje hodnoty délek úseků odříznutých rovinou na souřadnicových osách při počítání od bodu (0; 0; 0). Pojďme na tuto rovnici.

Napište obecný výraz pro letadlo takto:

Ax + By + Cz=-D

Levou a pravou část lze rozdělit -D bez porušení rovnosti. Máme:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 nebo

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Navrhněte jmenovatele každého termínu novým symbolem, dostaneme:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C pak

x/p + y/q + z/r=1

Toto je rovnice uvedená výše v segmentech. Z něj vyplývá, že hodnota jmenovatele každého členu udává souřadnici průsečíku s příslušnou osou roviny. Například protíná osu y v bodě (0; q; 0). To lze snadno pochopit, pokud do rovnice dosadíte nulové souřadnice xaz.

Všimněte si, že pokud v rovnici v segmentech není žádná proměnná, znamená to, že rovina neprotíná odpovídající osu. Například s výrazem:

x/p + y/q=1

To znamená, že rovina odřízne segmenty p a q na osách x a y, v daném pořadí, ale bude rovnoběžná s osou z.

Závěr o chování letadla, kdyžnepřítomnost nějaké proměnné v její rovnici platí také pro výraz obecného typu, jak je znázorněno na obrázku níže.

Vektorová parametrická rovnice

Existuje třetí druh rovnice, která umožňuje popsat rovinu v prostoru. Nazývá se parametrický vektor, protože je dán dvěma vektory ležícími v rovině a dvěma parametry, které mohou nabývat libovolných nezávislých hodnot. Pojďme si ukázat, jak lze tuto rovnici získat.

Předpokládejme, že existuje několik známých vektorů u ¯(a₁; b₁; c₁) a v¯(a₂; b₂; c₂). Pokud nejsou rovnoběžné, lze je použít k nastavení konkrétní roviny upevněním začátku jednoho z těchto vektorů na známý bod M(x₀; y₀; z_{0). Pokud lze libovolný vektor MP¯ znázornit jako kombinaci lineárních vektorů u¯ a v¯, pak to znamená, že bod P(x; y; z) patří do stejné roviny jako u¯, v¯. Můžeme tedy napsat rovnost:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Nebo zapsáním této rovnosti pomocí souřadnic dostaneme:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Předložená rovnost je parametrická vektorová rovnice pro rovinu. Vvektorový prostor v rovině u¯ a v¯ se nazývá generátory.

Při řešení problému se dále ukáže, jak lze tuto rovnici zredukovat na obecný tvar pro rovinu.

Úhel mezi rovinami v prostoru

Intuitivně se roviny ve 3D prostoru mohou protínat nebo ne. V prvním případě je zajímavé najít úhel mezi nimi. Výpočet tohoto úhlu je obtížnější než úhel mezi úsečkami, protože mluvíme o dihedrálním geometrickém objektu. Na pomoc však přichází již zmíněný naváděcí vektor pro letadlo.

Je geometricky stanoveno, že úhel vzepětí mezi dvěma protínajícími se rovinami je přesně roven úhlu mezi jejich vodícími vektory. Označme tyto vektory jako n₁¯(a₁; b₁; c_{1) a n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Kosinus úhlu mezi nimi je určen ze skalárního součinu. To znamená, že samotný úhel v prostoru mezi rovinami lze vypočítat podle vzorce:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Zde se modul ve jmenovateli používá k vyřazení hodnoty tupého úhlu (mezi protínajícími se rovinami je vždy menší nebo roven 90o).

V souřadnicové formě lze tento výraz přepsat následovně:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Roviny kolmé a rovnoběžné

Pokud se roviny protínají a jejich dihedrální úhel je 90o, pak budou kolmé. Příkladem takových rovin je pravoúhlý hranol nebo krychle. Tyto obrazce jsou tvořeny šesti rovinami. V každém vrcholu jmenovaných obrazců jsou tři roviny, které jsou na sebe kolmé.

Abyste zjistili, zda jsou uvažované roviny kolmé, stačí vypočítat skalární součin jejich normálových vektorů. Postačující podmínkou pro kolmost v prostoru rovin je nulová hodnota tohoto produktu.

Paralelní se nazývají neprotínající se roviny. Někdy se také říká, že rovnoběžné roviny se protínají v nekonečnu. Podmínka rovnoběžnosti v prostoru rovin se shoduje s podmínkou pro směrové vektory n₁¯ a n_{2¯. Můžete to zkontrolovat dvěma způsoby:}

Vypočítejte kosinus dihedrálního úhlu (cos(φ)) pomocí skalárního součinu. Pokud jsou roviny rovnoběžné, bude hodnota 1.

Zkuste vyjádřit jeden vektor druhým vynásobením nějakým číslem, např. n₁¯=kn_{2¯. Pokud to lze provést, pak odpovídající roviny jsouparalelní.}

Na obrázku jsou dvě rovnoběžné roviny.

Nyní si uveďme příklady řešení dvou zajímavých problémů s využitím získaných matematických znalostí.

Jak získat obecný tvar z vektorové rovnice?

Toto je parametrický vektorový výraz pro rovinu. Pro snazší pochopení toku operací a používaných matematických triků zvažte konkrétní příklad:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Rozb alte tento výraz a vyjádřete neznámé parametry:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Poté:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Otevřením závorek v posledním výrazu dostaneme:

z=2x-2 + 3y - 6 nebo

2x + 3y – z – 8=0

Získali jsme obecný tvar rovnice pro rovinu specifikovanou v zadání problému ve vektorovém tvaru

Jak postavit letadlo přes tři body?

Je možné nakreslit jednu rovinu třemi body, pokud tyto body nepatří k jedné přímce. Algoritmus pro řešení tohoto problému sestává z následující sekvence akcí: