Trojúhelník je mnohoúhelník se třemi stranami (tři rohy). Nejčastěji se strany označují malými písmeny, odpovídajícími velkým písmenům, která označují protilehlé vrcholy. V tomto článku se seznámíme s typy těchto geometrických tvarů, větou, která určuje, jaký je součet úhlů trojúhelníku.
Zobrazení podle úhlů
Rozlišují se následující typy polygonů se třemi vrcholy:
- ostře úhlové, ve kterém jsou všechny rohy ostré;
- obdélníkový, který má jeden pravý úhel, zatímco strany, které ho tvoří, se nazývají nohy a strana, která je proti pravému úhlu, se nazývá přepona;
- tupý, když je jeden roh tupý;
- rovnoramenné, ve kterém jsou dvě strany stejné a nazývají se boční, a třetí je základna trojúhelníku;
- rovnostranný se všemi třemi stejnými stranami.
Vlastnosti
Zdůrazňují hlavní vlastnosti, které jsou charakteristické pro každý typ trojúhelníku:
- naproti větší straně je vždy větší úhel a naopak;
- stejně velké protilehlé strany mají stejné úhly a naopak;
- jakýkoli trojúhelník má dva ostré úhly;
- vnější roh je větší než jakýkoli vnitřní roh, který s ním nesousedí;
- součet libovolných dvou úhlů je vždy menší než 180 stupňů;
- vnější roh se rovná součtu ostatních dvou rohů, které se s ním neprotínají.
Věta o součtu úhlů o trojúhelníku
Věta říká, že pokud sečtete všechny úhly daného geometrického útvaru, který se nachází v euklidovské rovině, pak jejich součet bude 180 stupňů. Pokusme se dokázat tuto větu.
Mějme libovolný trojúhelník s vrcholy KMN.
Vrcholem M nakreslete přímku rovnoběžnou s přímkou KN (tato přímka se také nazývá euklidovská přímka). Bod A na něm označíme tak, že body K a A leží na různých stranách přímky MN. Získáme stejné úhly AMN a KNM, které stejně jako vnitřní leží napříč a jsou tvořeny sečnou MN spolu s přímkami KN a MA, které jsou rovnoběžné. Z toho vyplývá, že součet úhlů trojúhelníku umístěného ve vrcholech M a H je roven velikosti úhlu KMA. Všechny tři úhly tvoří součet, který se rovná součtu úhlů KMA a MKN. Protože tyto úhly jsou vnitřní jednostranné vzhledem krovnoběžné přímky KN a MA se sečnou KM, jejich součet je 180 stupňů. Věta dokázána.
Důsledek
Z výše dokázané věty vyplývá následující důsledek: každý trojúhelník má dva ostré úhly. Abychom to dokázali, předpokládejme, že daný geometrický útvar má pouze jeden ostrý úhel. Lze také předpokládat, že žádný z úhlů není ostrý. V tomto případě musí existovat alespoň dva úhly, které jsou rovné nebo větší než 90 stupňů. Ale pak bude součet úhlů větší než 180 stupňů. Ale to nemůže být, protože podle věty je součet úhlů trojúhelníku 180 ° - ne více a ne méně. To je to, co muselo být prokázáno.
Vnější rohová nemovitost
Jaký je součet úhlů trojúhelníku, které jsou vnější? Na tuto otázku lze odpovědět jedním ze dvou způsobů. První je, že je potřeba najít součet úhlů, které se berou v každém vrcholu jeden, tedy tři úhly. Druhý znamená, že musíte najít součet všech šesti úhlů ve vrcholech. Nejprve se pojďme zabývat první možností. Trojúhelník tedy obsahuje šest vnějších rohů – dva v každém vrcholu.
Každý pár má stejné úhly, protože jsou vertikální:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Kromě toho je známo, že vnější úhel trojúhelníku je roven součtu dvou vnitřních úhlů, které se s ním neprotínají. Proto
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Z toho vyplývá, že součet externíchrohy, které jsou brány po jednom v každém vrcholu, se budou rovnat:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Vzhledem k tomu, že součet úhlů je 180 stupňů, lze tvrdit, že ∟A + ∟B + ∟C=180°. A to znamená, že ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Pokud se použije druhá možnost, pak bude součet šesti úhlů dvakrát větší. To znamená, že součet vnějších úhlů trojúhelníku bude:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Pravý trojúhelník
Jaký je součet ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku? Odpověď na tuto otázku opět vyplývá z věty, která říká, že součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů. A naše tvrzení (vlastnost) zní takto: v pravoúhlém trojúhelníku tvoří součty ostrých úhlů 90 stupňů. Pojďme dokázat jeho pravdivost.
Mějme trojúhelník KMN, ve kterém ∟Н=90°. Je nutné dokázat, že ∟K + ∟M=90°.
Takže podle věty o součtu úhlů ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Naše podmínka říká, že ∟Н=90°. Takže to dopadá, ∟K + ∟M + 90°=180°. To znamená, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. To jsme museli dokázat.
Kromě výše uvedených vlastností pravoúhlého trojúhelníku můžete přidat následující:
- úhly, které přiléhají k nohám, jsou ostré;
- přepona je trojúhelníková více než kterákoli z nohou;
- součet nohou je větší než přepona;
- nohatrojúhelník, který leží naproti úhlu 30 stupňů, je polovinou přepony, to znamená, že se rovná její polovině.
Jako další vlastnost tohoto geometrického útvaru lze rozlišit Pythagorovu větu. Říká, že v trojúhelníku s úhlem 90 stupňů (pravoúhlém) se součet čtverců nohou rovná čtverci přepony.
Součet úhlů rovnoramenného trojúhelníku
Dříve jsme řekli, že rovnoramenný je mnohoúhelník se třemi vrcholy, který obsahuje dvě stejné strany. Tato vlastnost daného geometrického útvaru je známá: úhly na jeho základně jsou stejné. Pojďme to dokázat.
Vezměte trojúhelník KMN, který je rovnoramenný, KN je jeho základna.
Jsme povinni dokázat, že ∟К=∟Н. Řekněme tedy, že MA je osa našeho trojúhelníku KMN. Trojúhelník MCA, vezmeme-li v úvahu první znak rovnosti, se rovná trojúhelníku MCA. Konkrétně podmínkou je dáno, že KM=NM, MA je společná strana, ∟1=∟2, protože MA je osa. S použitím skutečnosti, že tyto dva trojúhelníky jsou stejné, můžeme říci, že ∟K=∟Н. Takže věta je dokázána.
Nás ale zajímá, jaký je součet úhlů trojúhelníku (rovnoramenného). Protože v tomto ohledu nemá své vlastní zvláštnosti, vyjdeme z věty, kterou jsme uvažovali dříve. To znamená, že můžeme říci, že ∟K + ∟M + ∟H=180° nebo 2 x ∟K + ∟M=180° (protože ∟K=∟H). Tuto vlastnost nebudeme dokazovat, protože samotná věta o součtu trojúhelníku byla prokázána dříve.
Pokud není uvedeno jinakvlastnosti o úhlech trojúhelníku, existují také taková důležitá tvrzení:
- v rovnoramenném trojúhelníku je výška, která byla snížena k základně, jak medián, sektor úhlu, který je mezi stejnými stranami, tak i osa symetrie jeho základny;
- mediány (osy, výšky), které jsou nakresleny po stranách takového geometrického útvaru, jsou stejné.
Rovnostranný trojúhelník
Nazývá se také pravý, je to trojúhelník se všemi stranami stejnými. Proto jsou úhly také stejné. Každý z nich má 60 stupňů. Pojďme dokázat tuto vlastnost.
Předpokládejme, že máme trojúhelník KMN. Víme, že KM=NM=KN. A to znamená, že podle vlastnosti úhlů umístěných na základně v rovnoramenném trojúhelníku ∟К=∟М=∟Н. Protože podle věty je součet úhlů trojúhelníku ∟К + ∟М + ∟Н=180°, pak 3 x ∟К=180° nebo ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ H=60°. Tím je tvrzení dokázáno.
Jak můžete vidět z výše uvedeného důkazu založeného na větě, součet úhlů rovnostranného trojúhelníku, stejně jako součet úhlů jakéhokoli jiného trojúhelníku, je 180 stupňů. Tuto větu není třeba znovu dokazovat.
Existují také takové vlastnosti charakteristické pro rovnostranný trojúhelník:
- medián, os, výška v takovém geometrickém obrazci jsou stejné a jejich délka se vypočítá jako (a x √3): 2;
- pokud popíšete kružnici kolem daného mnohoúhelníku, pak bude její poloměr stejnýrovná se (a x √3): 3;
- pokud vepíšete kruh do rovnostranného trojúhelníku, jeho poloměr bude (a x √3): 6;
- plocha tohoto geometrického útvaru se vypočítá podle vzorce: (a2 x √3): 4.
Zlomený trojúhelník
Podle definice tupého trojúhelníku je jeden z jeho úhlů mezi 90 a 180 stupni. Ale vzhledem k tomu, že další dva úhly tohoto geometrického útvaru jsou ostré, můžeme dojít k závěru, že nepřesahují 90 stupňů. Proto při výpočtu součtu úhlů v tupoúhlém trojúhelníku funguje věta o trojúhelníkovém součtu úhlů. Ukazuje se, že na základě zmíněné věty můžeme s jistotou říci, že součet úhlů tupého trojúhelníku je 180 stupňů. Tuto větu opět není třeba znovu dokazovat.
