Kurz školní geometrie je rozdělen do dvou velkých sekcí: planimetrie a prostorová geometrie. Stereometrie studuje prostorové obrazce a jejich charakteristiky. V tomto článku se podíváme na to, co je přímý hranol, a uvedeme vzorce, které popisují jeho vlastnosti, jako jsou diagonální délky, objem a povrch.
Co je hranol?
Když jsou školáci požádáni, aby pojmenovali definici hranolu, odpoví, že tento obrazec jsou dva stejné rovnoběžné mnohoúhelníky, jejichž strany jsou spojeny rovnoběžníky. Tato definice je co nejobecnější, protože neklade podmínky na tvar polygonů, na jejich vzájemné uspořádání v rovnoběžných rovinách. Kromě toho to znamená přítomnost spojovacích rovnoběžníků, jejichž třída také zahrnuje čtverec, kosočtverec a obdélník. Níže vidíte, co je čtyřboký hranol.
Vidíme, že hranol je mnohostěn (mnohostěn) skládající se z n + 2strany, 2 × n vrcholů a 3 × n hran, kde n je počet stran (vrcholů) jednoho z mnohoúhelníků.
Oba polygony se obvykle nazývají základny obrazce, ostatní plochy jsou strany hranolu.
Koncept přímého hranolu
Existují různé druhy hranolů. Mluví se tedy o pravidelných a nepravidelných obrazcích, o trojbokých, pětibokých a jiných hranolech, jsou zde konvexní a konkávní obrazce a nakonec jsou nakloněné a rovné. Promluvme si o tom druhém podrobněji.
Pravý hranol je takový obrazec studované třídy mnohostěnů, jehož všechny boční čtyřúhelníky mají pravé úhly. Existují pouze dva typy takových čtyřúhelníků – obdélník a čtverec.
Uvažovaná forma obrazce má důležitou vlastnost: výška rovného hranolu se rovná délce jeho boční hrany. Všimněte si, že všechny boční okraje obrázku jsou si navzájem rovné. Pokud jde o boční plochy, obecně se navzájem nerovnají. Jejich rovnost je možná, pokud kromě toho, že je hranol rovný, bude také správný.
Obrázek níže ukazuje rovnou postavu s pětiúhelníkovou základnou. Je vidět, že všechny jeho boční plochy jsou obdélníky.
Úhlopříčky hranolu a jejich lineární parametry
Hlavní lineární charakteristiky každého hranolu jsou jeho výška h a délky stran jeho základny ai, kde i=1, …, n. Je-li základnou pravidelný mnohoúhelník, pak k popisu jejích vlastností postačí znát délku a jedné strany. Znalost vyznačených lineárních parametrů nám umožňuje jednoznačnědefinovat takové vlastnosti obrazce, jako je jeho objem nebo povrch.
Úhlopříčky přímého hranolu jsou segmenty, které spojují libovolné dva nesousedící vrcholy. Takové úhlopříčky mohou být tří typů:
- ležící v základních rovinách;
- umístěné v rovinách postranních obdélníků;
- čísla patřící ke svazku.
Délky těchto úhlopříček vztahujících se k základně by měly být určeny v závislosti na typu n-úhelníku.
Úhlopříčky bočních obdélníků se počítají podle následujícího vzorce:
d1i=√(ai2+ h2).
K určení objemových úhlopříček potřebujete znát hodnotu délky odpovídající základní úhlopříčky a výšku. Pokud je některá úhlopříčka základny označena písmenem d0i, pak se objemová úhlopříčka d2i vypočítá následovně:
d2i=√(d0i2+ h2).
Například v případě pravidelného čtyřbokého hranolu bude délka objemové úhlopříčky:
d2=√(2 × a2+ h2).
Všimněte si, že pravý trojúhelníkový hranol má pouze jeden ze tří pojmenovaných typů úhlopříček: boční úhlopříčku.
Povrch studované třídy tvarů
Povrchová plocha je součet ploch všech tváří figury. Pro vizualizaci všech tváří byste měli provést sken hranolu. Jako příklad je níže zobrazeno takové rozmítání pro pětiúhelníkový obrazec.
Vidíme, že počet rovinných obrazců je n + 2 a n jsou obdélníky. Chcete-li vypočítat plochu celého tažení, přidejte plochy dvou identických základen a plochy všech obdélníků. Potom bude odpovídající vzorec vypadat takto:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Tato rovnost ukazuje, že plocha bočního povrchu studovaného typu hranolů je rovna součinu výšky obrazce a obvodu jeho základny.
Základní plochu So lze vypočítat použitím příslušného geometrického vzorce. Pokud je například základna pravého hranolu pravoúhlý trojúhelník, dostaneme:
So=a1 × a2 / 2.
Kde a1 a2 jsou nohy trojúhelníku.
Pokud je základna n-úhelník se stejnými úhly a stranami, bude spravedlivý následující vzorec:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Vzorec objemu
Určení objemu hranolu jakéhokoli druhu není obtížný úkol, pokud je známa jeho základní plocha So a výška h. Vynásobením těchto hodnot dohromady získáme objem V obrázku, tedy:
V=So × h.
Protože parametr h přímého hranolu je roven délce boční hrany, celý problém výpočtu objemu spočívá ve výpočtu plochy So. Nad námijiž řekli několik slov a uvedli několik vzorců k určení So. Zde pouze poznamenáváme, že v případě základny libovolného tvaru byste ji měli rozdělit na jednoduché segmenty (trojúhelníky, obdélníky), vypočítat plochu každého z nich a poté přidat všechny oblasti, abyste získali S o.
