Pythagoras tvrdil, že číslo je základem světa spolu se základními prvky. Platón věřil, že číslo spojuje jev a noumenon, pomáhá poznávat, měřit a vyvozovat závěry. Aritmetika pochází ze slova "aritmos" - číslo, začátek začátků v matematice. Dokáže popsat jakýkoli objekt – od elementárního jablka po abstraktní prostory.
Potřeby jako faktor rozvoje
V raných fázích formování společnosti se potřeby lidí omezovaly na potřebu počítat – jeden pytel obilí, dva pytle obilí atd. K tomu stačila přirozená čísla, jejichž množina je nekonečná kladná posloupnost celých čísel N.
Později, s rozvojem matematiky jako vědy, vznikla potřeba samostatného pole celých čísel Z - zahrnuje záporné hodnoty a nulu. Jeho vzhled na úrovni domácností byl vyvolán tím, že v primárním účetnictví bylo nutné nějak opravitdluhy a ztráty. Na vědecké úrovni umožnila záporná čísla řešit nejjednodušší lineární rovnice. Mimo jiné je nyní možný obraz triviálního souřadnicového systému, protože se objevil referenční bod.
Dalším krokem byla potřeba zavést zlomková čísla, protože věda nestála na místě, stále více objevů vyžadovalo teoretický základ pro nový růstový impuls. Takto se objevilo pole racionálních čísel Q.
Konečně racionalita přestala uspokojovat požadavky, protože všechny nové závěry vyžadovaly zdůvodnění. Objevilo se pole reálných čísel R, Euklidovy práce o nesouměřitelnosti určitých veličin pro jejich iracionalitu. To znamená, že starověcí řečtí matematici umístili číslo nejen jako konstantu, ale také jako abstraktní veličinu, která se vyznačuje poměrem nesouměřitelných veličin. Vzhledem k tomu, že se objevila reálná čísla, takové veličiny jako „pí“a „e“„uviděly světlo“, bez nichž by moderní matematika nemohla probíhat.
Poslední novinkou bylo komplexní číslo C. Odpovědělo na řadu otázek a vyvrátilo dříve zavedené postuláty. Vzhledem k rychlému rozvoji algebry byl výsledek předvídatelný - mít reálná čísla, řešení mnoha problémů bylo nemožné. Například díky komplexním číslům vynikla teorie strun a chaosu a rozšířily se rovnice hydrodynamiky.
Teorie množin. Cantor
Koncept nekonečna za všech okolnostívyvolalo kontroverzi, protože to nebylo možné ani dokázat, ani vyvrátit. V kontextu matematiky, která operovala s přísně ověřenými postuláty, se to projevilo nejzřetelněji, zvláště když teologický aspekt měl ve vědě stále váhu.
Díky práci matematika Georga Kantora však vše časem zapadlo. Dokázal, že existuje nekonečný počet nekonečných množin a že pole R je větší než pole N, i když obě nemají konec. V polovině 19. století byly jeho myšlenky hlasitě nazývány nesmysly a zločinem proti klasickým, neotřesitelným kánonům, ale čas dal vše na své místo.
Základní vlastnosti pole R
Reálná čísla mají nejen stejné vlastnosti jako podmnožiny, které jsou v nich zahrnuty, ale jsou také doplněny o další kvůli měřítku jejich prvků:
- Nula existuje a patří do pole R. c + 0=c pro libovolné c z R.
- Nula existuje a patří do pole R. c x 0=0 pro libovolné c z R.
- Vztah c: d pro d ≠ 0 existuje a platí pro libovolné c, d z R.
- Pole R je uspořádané, to znamená, že pokud c ≦ d, d ≦ c, pak c=d pro libovolné c, d z R.
- Sčítání v poli R je komutativní, tj. c + d=d + c pro libovolné c, d z R.
- Násobení v poli R je komutativní, tj. c x d=d x c pro libovolné c, d z R.
- Sčítání v poli R je asociativní, tj. (c + d) + f=c + (d + f) pro libovolné c, d, f z R.
- Násobení v poli R je asociativní, tj. (c x d) x f=c x (d x f) pro libovolné c, d, f z R.
- Pro každé číslo v poli R existuje opak, například c + (-c)=0, kde c, -c je z R.
- Pro každé číslo z pole R existuje jeho inverzní hodnota, takže c x c-1 =1, kde c, c-1 od R.
- Jednotka existuje a patří R, takže c x 1=c, pro libovolné c z R.
- Zákon o rozdělení je platný, takže c x (d + f)=c x d + c x f, pro libovolné c, d, f z R.
- V poli R se nula nerovná jedné.
- Pole R je tranzitivní: pokud c ≦ d, d ≦ f, pak c ≦ f pro libovolné c, d, f z R.
- V poli R souvisí pořadí a sčítání: pokud c ≦ d, pak c + f ≦ d + f pro libovolné c, d, f z R.
- V poli R souvisí pořadí a násobení: pokud 0 ≦ c, 0 ≦ d, pak 0 ≦ c x d pro libovolné c, d z R.
- Záporná i kladná reálná čísla jsou spojitá, to znamená, že pro každé c, d od R existuje f od R takové, že c ≦ f ≦ d.
Modul v poli R
Skutečná čísla zahrnují modul.
Označeno jako |f| pro libovolné f z R. |f|=f jestliže 0 ≦ f a |f|=-f pokud 0 > f. Pokud modul považujeme za geometrickou veličinu, pak je to ujetá vzdálenost – nezáleží na tom, zda jste „přešli“nulou do mínusu nebo dopředu do plusu.
Komplexní a reálná čísla. Jaké jsou podobnosti a jaké jsou rozdíly?
Kromě toho jsou komplexní a reálná čísla jedno a totéžimaginární jednotka i, jejíž druhá mocnina je -1. Prvky polí R a C mohou být reprezentovány následujícím vzorcem:
c=d + f x i, kde d, f patří do pole R a i je imaginární jednotka
Pro získání c z R v tomto případě je f jednoduše nastaveno na nulu, to znamená, že z čísla zůstane pouze reálná část. Vzhledem k tomu, že pole komplexních čísel má stejnou sadu vlastností jako pole reálných čísel, f x i=0, pokud f=0.
Pokud jde o praktické rozdíly, například v poli R se kvadratická rovnice neřeší, pokud je diskriminant záporný, zatímco pole C takové omezení neukládá kvůli zavedení imaginární jednotky i.
Výsledky
„Kohly“axiomů a postulátů, na kterých je matematika založena, se nemění. Z důvodu nárůstu informací a zavádění nových teorií jsou na některé z nich umístěny následující „cihly“, které se v budoucnu mohou stát základem pro další postup. Například přirozená čísla, přestože jsou podmnožinou reálného tělesa R, neztrácejí svou relevanci. Právě na nich je založena veškerá elementární aritmetika, kterou začíná lidské poznání světa.
Z praktického hlediska vypadají reálná čísla jako přímka. Na něm si můžete vybrat směr, určit počátek a krok. Přímka se skládá z nekonečného počtu bodů, z nichž každý odpovídá jedinému reálnému číslu, bez ohledu na to, zda je racionální nebo ne. Z popisu je zřejmé, že mluvíme o konceptu, na kterém je postavena jak matematika obecně, tak matematická analýza obecně.konkrétní.
