V matematice jsou inverzní funkce vzájemně si odpovídající výrazy, které se navzájem převádějí. Abychom pochopili, co to znamená, stojí za to zvážit konkrétní příklad. Řekněme, že máme y=cos(x). Pokud vezmeme kosinus z argumentu, pak můžeme najít hodnotu y. Je zřejmé, že k tomu potřebujete mít x. Ale co když je hráč zpočátku dán? Tady se dostáváme k jádru věci. K vyřešení problému je nutné použití inverzní funkce. V našem případě je to arcus cosinus.
Po všech transformacích dostaneme: x=arccos(y).
To znamená, že k nalezení funkce inverzní k dané funkci stačí z ní vyjádřit argument. Ale to funguje pouze v případě, že výsledek bude mít jedinou hodnotu (o tom později).
Obecně lze tuto skutečnost zapsat takto: f(x)=y, g(y)=x.
Definice
Nechť f je funkce, jejíž definičním oborem je množina X, arozsah hodnot je množina Y. Pak, pokud existuje g, jehož domény plní opačné úkoly, pak f je reverzibilní.
Kromě toho je v tomto případě g jedinečné, což znamená, že existuje právě jedna funkce, která tuto vlastnost splňuje (ne více, nic méně). Pak se nazývá inverzní funkce a písemně se značí takto: g(x)=f -1(x).
Jinými slovy, lze na ně pohlížet jako na binární relaci. Vratnost nastává pouze tehdy, když jeden prvek sady odpovídá jedné hodnotě z jiné.
Ne vždy existuje inverzní funkce. K tomu musí každý prvek y є Y odpovídat nejvýše jednomu x є X. Potom se f nazývá jedna ku jedné nebo injekce. Jestliže f -1 patří do Y, pak každý prvek této množiny musí odpovídat nějakému x ∈ X. Funkce s touto vlastností se nazývají surjekce. Z definice platí, pokud Y je obraz f, ale není tomu tak vždy. Aby byla funkce inverzní, musí být injekcí i vstřikem. Takové výrazy se nazývají bijekce.
Příklad: funkce druhé mocniny a odmocniny
Funkce je definována na [0, ∞) a dána vzorcem f (x)=x2.
Pak to není injektivní, protože každý možný výsledek Y (kromě 0) odpovídá dvěma různým X - jednomu pozitivnímu a jednomu negativnímu, takže to není reverzibilní. V tomto případě nebude možné získat počáteční data z přijatých, což je v rozporuteorie. Bude neinjektivní.
Pokud je doména definice podmíněně omezena na nezáporné hodnoty, bude vše fungovat jako dříve. Pak je bijektivní a tedy invertibilní. Inverzní funkce se zde nazývá kladná.
Poznámka k záznamu
Nechť označení f -1 (x) může člověka zmást, ale v žádném případě by nemělo být použito takto: (f (x)) - 1 . Odkazuje na zcela odlišný matematický koncept a nemá nic společného s inverzní funkcí.
Někteří autoři obecně používají výrazy jako sin-1 (x).
Jiní matematici se však domnívají, že to může způsobit zmatek. Aby se předešlo takovým potížím, inverzní goniometrické funkce se často označují předponou „arc“(z latinského arc). V našem případě mluvíme o arcsinusu. Příležitostně můžete také vidět předponu „ar“nebo „inv“pro některé další funkce.
