Co jsou iracionální čísla? Proč se jim tak říká? Kde se používají a jaké to jsou? Na tyto otázky dokáže bez váhání odpovědět jen málokdo. Ale ve skutečnosti jsou odpovědi na ně docela jednoduché, i když ne každý je potřebuje a ve velmi vzácných situacích
Podstata a označení
Iracionální čísla jsou nekonečné neperiodické desetinné zlomky. Potřeba zavedení tohoto pojmu je dána tím, že dříve existující pojmy reálných či reálných, celočíselných, přirozených a racionálních čísel již k řešení nově vznikajících problémů nestačily. Chcete-li například vypočítat druhou mocninu 2, musíte použít neopakující se nekonečná desetinná místa. Kromě toho mnoho z nejjednodušších rovnic také nemá řešení bez zavedení konceptu iracionálního čísla.
Tato množina je označena jako I. A jak je již jasné, tyto hodnoty nelze reprezentovat jako jednoduchý zlomek, v jehož čitateli bude celé číslo a ve jmenovateli přirozené číslo.
Poprvé vůbecjinak se s tímto jevem setkali indičtí matematici v 7. století př. n. l., kdy se zjistilo, že odmocniny některých veličin nelze výslovně uvést. A první důkaz existence takových čísel je připisován pythagorejskému Hippasovi, který to udělal v procesu studia rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku. Vážný příspěvek ke studiu tohoto souboru učinili někteří další vědci, kteří žili před naším letopočtem. Zavedení konceptu iracionálních čísel znamenalo revizi stávajícího matematického systému, a proto jsou tak důležitá.
Původ jména
Pokud poměr v latině znamená „zlomek“, „poměr“, pak předpona „ir“
dává tomuto slovu opačný význam. Název množiny těchto čísel tedy naznačuje, že je nelze korelovat s celým číslem nebo zlomkem, mají samostatné místo. To vyplývá z jejich podstaty.
Místo v celkové klasifikaci
Iracionální čísla patří spolu s racionálními čísly do skupiny reálných nebo reálných čísel, která zase patří ke komplexním číslům. Neexistují žádné podmnožiny, existují však algebraické a transcendentální varianty, o kterých bude pojednáno níže.
Vlastnosti
Vzhledem k tomu, že iracionální čísla jsou součástí množiny reálných čísel, platí pro ně všechny jejich vlastnosti, které jsou studovány v aritmetice (nazývají se také základní algebraické zákony).
a + b=b + a (komutativity);
(a + b) + c=a + (b + c)(asociativita);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (existence opačného čísla);
ab=ba (zákon o posunu);
(ab)c=a(bc) (distributivity);
a(b+c)=ab + ac (distribuční zákon);
a x 1=a
a x 1/a=1 (existence inverzního čísla);
Porovnání se také provádí v souladu s obecnými zákony a zásadami:
Pokud a > b a b > c, pak a > c (tranzitivita poměru) a. atd.
Všechna iracionální čísla lze samozřejmě převést pomocí základní aritmetiky. Neexistují pro to žádná zvláštní pravidla.
Navíc platí Archimédův axiom pro iracionální čísla. Říká, že pro libovolné dvě veličiny a a b platí tvrzení, že pokud a vezmete jako termín dostatečně často, můžete překonat b.
Použít
Navzdory tomu, že v běžném životě se s nimi často nemusíte potýkat, iracionální čísla nelze spočítat. Je jich hodně, ale nejsou skoro vidět. Všude jsme obklopeni iracionálními čísly. Všem známým příkladem je číslo pí, rovné 3, 1415926 … nebo e, což je v podstatě základ přirozeného logaritmu, 2, 718281828 … V algebře, trigonometrii a geometrii se musí používat neustále.. Mimochodem, slavná hodnota „zlatého řezu“, tedy poměr jak větší části k menší, tak i naopak, je také
patří do této sady. Méně známé "stříbro" - také.
Jsou umístěny velmi hustě na číselné ose, takže mezi jakýmikoli dvěma hodnotami souvisejícími s množinou racionálních se určitě objeví jedna iracionální.
S touto sadou je stále mnoho nevyřešených problémů. Existují taková kritéria, jako je míra iracionality a normalita čísla. Matematici pokračují ve zkoumání nejvýznamnějších příkladů jejich příslušnosti k té či oné skupině. Například se má za to, že e je normální číslo, to znamená, že pravděpodobnost výskytu různých číslic v jeho záznamu je stejná. Pokud jde o pí, výzkum ohledně toho stále probíhá. Míra iracionality se také nazývá hodnota, která ukazuje, jak dobře lze to či ono číslo aproximovat racionálními čísly.
Algebraické a transcendentální
Jak již bylo zmíněno, iracionální čísla se podmíněně dělí na algebraická a transcendentální. Podmíněně, protože přísně vzato se tato klasifikace používá k rozdělení množiny C.
Toto označení skrývá komplexní čísla, která zahrnují reálná nebo reálná čísla.
Algebraická hodnota je tedy hodnota, která je kořenem polynomu, který není shodně roven nule. Například druhá odmocnina ze 2 by byla v této kategorii, protože je řešením rovnice x2 - 2=0.
Všechna ostatní reálná čísla, která nesplňují tuto podmínku, se nazývají transcendentální. K této odrůdězahrňte nejznámější a již zmíněné příklady - číslo pí a základ přirozeného logaritmu e.
Zajímavé je, že ani jedno ani druhé nebylo původně matematiky v této funkci dedukováno, jejich iracionalita a transcendence byly prokázány až mnoho let po jejich objevu. Pro pí byl důkaz podán v roce 1882 a zjednodušen v roce 1894, což ukončilo 2500 let trvající spor o problém kvadratury kruhu. Stále to není úplně pochopeno, takže moderní matematici mají na čem pracovat. Mimochodem, první dostatečně přesný výpočet této hodnoty provedl Archimedes. Před ním byly všechny výpočty příliš přibližné.
Pro e (Eulerova nebo Napierova čísla) byl v roce 1873 nalezen důkaz jeho transcendence. Používá se při řešení logaritmických rovnic.
Další příklady zahrnují hodnoty sinus, kosinus a tangens pro jakékoli algebraické nenulové hodnoty.
