Trojúhelník je jeden z nejběžnějších geometrických tvarů, který známe již na základní škole. Otázku, jak najít oblast trojúhelníku, řeší každý student v hodinách geometrie. Jaké jsou tedy vlastnosti nalezení oblasti daného obrázku, kterou lze rozlišit? V tomto článku zvážíme základní vzorce nezbytné k dokončení takového úkolu a také analyzujeme typy trojúhelníků.
Typy trojúhelníků
Obsah trojúhelníku můžete najít zcela odlišnými způsoby, protože v geometrii existuje více než jeden typ obrazce obsahující tři úhly. Mezi tyto druhy patří:
- Akutní trojúhelník.
- Úhlově šikmé.
- Rovnostranné (správně).
- Pravý trojúhelník.
- Rovnoramenné.
Pojďme se blíže podívat na každý ze stávajících typů trojúhelníků.
Akutnítrojúhelník
Takový geometrický útvar je považován za nejběžnější při řešení geometrických problémů. Když bude nutné nakreslit libovolný trojúhelník, tato možnost přichází na pomoc.
V ostrém trojúhelníku, jak název napovídá, jsou všechny úhly ostré a jejich součet je 180°.
Zlomený trojúhelník
Tento trojúhelník je také velmi běžný, ale je poněkud méně běžný než trojúhelník s ostrým úhlem. Například při řešení trojúhelníků (to znamená, že znáte několik jeho stran a úhlů a potřebujete najít zbývající prvky), někdy potřebujete určit, zda je úhel tupý nebo ne. Kosinus tupého úhlu je záporné číslo.
V tupoúhlém trojúhelníku hodnota jednoho z úhlů přesahuje 90°, takže zbývající dva úhly mohou nabývat malých hodnot (například 15° nebo dokonce 3°).
Abyste našli oblast trojúhelníku tohoto typu, musíte znát některé nuance, o kterých si povíme později.
Pravidelné a rovnoramenné trojúhelníky
Pravidelný mnohoúhelník je obrazec, který obsahuje n úhlů a všechny strany a úhly jsou stejné. Toto je pravoúhlý trojúhelník. Protože součet všech úhlů trojúhelníku je 180°, každý ze tří úhlů je 60°.
Pravidelný trojúhelník se díky své vlastnosti nazývá také rovnostranný obrazec.
Za zmínku také stojí, že vpravidelný trojúhelník může být vepsán pouze jednou kružnicí a pouze jedna kružnice může být opsána kolem něj a jejich středy jsou umístěny v jednom bodě.
Kromě rovnostranného typu lze vybrat také rovnoramenný trojúhelník, který se od něj mírně liší. V takovém trojúhelníku jsou dvě strany a dva úhly stejné a třetí strana (ke které přiléhají stejné úhly) je základna.
Na obrázku je rovnoramenný trojúhelník DEF, jehož úhly D a F jsou stejné a DF je základna.
Pravý trojúhelník
Pravoúhlý trojúhelník je pojmenován tak, protože jeden z jeho úhlů je pravý úhel, tedy rovný 90°. Další dva úhly tvoří dohromady 90°.
Největší strana takového trojúhelníku, ležící naproti úhlu 90°, je přepona, zatímco další dvě jeho strany jsou nohy. Pro tento typ trojúhelníků platí Pythagorova věta:
Součet druhých mocnin délek nohou se rovná druhé mocnině délky přepony.
Obrázek ukazuje pravoúhlý trojúhelník BAC s přeponou AC a rameny AB a BC.
Abyste našli plochu trojúhelníku s pravým úhlem, musíte znát číselné hodnoty jeho nohou.
Přejděme k vzorcům pro zjištění plochy tohoto obrázku.
Vzorce základní oblasti
V geometrii existují dva vzorce, které jsou vhodné pro zjištění plochy většiny typů trojúhelníků, a to pro ostroúhlý, tupoúhlý, pravidelný arovnoramenné trojúhelníky. Pojďme analyzovat každou z nich.
Po boku a na výšku
Tento vzorec je univerzální pro nalezení oblasti postavy, kterou uvažujeme. K tomu stačí znát délku strany a délku k ní nakreslené výšky. Samotný vzorec (polovina součinu základny a výšky) vypadá takto:
S=½AH, kde A je strana daného trojúhelníku a H je výška trojúhelníku.
Například k nalezení obsahu ostroúhlého trojúhelníku ACB je třeba vynásobit jeho stranu AB výškou CD a výslednou hodnotu vydělit dvěma.
Nicméně není vždy snadné tímto způsobem najít oblast trojúhelníku. Chcete-li například použít tento vzorec pro tupoúhlý trojúhelník, musíte pokračovat na jedné z jeho stran a teprve poté k ní nakreslit výšku.
V praxi se tento vzorec používá častěji než ostatní.
Na dvě strany a jeden roh
Tento vzorec, stejně jako předchozí, je vhodný pro většinu trojúhelníků a ve svém významu je důsledkem vzorce pro zjištění obsahu strany a výšky trojúhelníku. To znamená, že uvažovaný vzorec lze snadno odvodit z předchozího. Její znění vypadá takto:
S=½sinOAB, kde A a B jsou strany trojúhelníku a O je úhel mezi stranami A a B.
Připomeňme, že sinus úhlu lze zobrazit ve speciální tabulce pojmenované po vynikajícím sovětském matematikovi V. M. Bradisovi.
A teď přejděme k dalším vzorcům,vhodné pouze pro výjimečné typy trojúhelníků.
Plocha pravoúhlého trojúhelníku
Kromě univerzálního vzorce, který zahrnuje nutnost zakreslit výšku do trojúhelníku, lze oblast trojúhelníku obsahujícího pravý úhel najít pomocí jeho nohou.
Plocha trojúhelníku obsahujícího pravý úhel je tedy polovinou součinu jeho nohou, neboli:
S=½ab, kde aab jsou nohy pravoúhlého trojúhelníku.
Pravidelný trojúhelník
Tento typ geometrických útvarů se liší tím, že jeho obsah lze nalézt se zadanou hodnotou pouze jedné z jeho stran (protože všechny strany pravidelného trojúhelníku jsou stejné). Poté, co jste se setkali s úkolem „najít oblast trojúhelníku, když jsou strany stejné“, musíte použít následující vzorec:
S=A2√3 / 4, kde A je strana rovnostranného trojúhelníku.
Heronův vzorec
Poslední možností, jak najít obsah trojúhelníku, je Heronův vzorec. Abyste jej mohli použít, musíte znát délky tří stran obrázku. Heronův vzorec vypadá takto:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), kde a, b a c jsou strany tohoto trojúhelníku.
Někdy zadaný úkol: "oblast pravidelného trojúhelníku - najděte délku jeho strany." V tomto případě musíte použít již známý vzorec pro zjištění obsahu pravidelného trojúhelníku a odvodit z něj hodnotu strany (nebo jeho čtverce):
A2=4S / √3.
Problémy se zkouškou
V úlohách GIAV matematice existuje mnoho vzorců. Kromě toho je často nutné najít oblast trojúhelníku na kostkovaném papíře.
V tomto případě je nejvhodnější nakreslit výšku na jednu ze stran obrázku, určit jeho délku po buňkách a použít univerzální vzorec pro zjištění plochy:
S=½AH.
Po prostudování vzorců uvedených v článku nebudete mít problémy s nalezením oblasti trojúhelníku jakéhokoli druhu.
