Paralelismus rovin je koncept, který se poprvé objevil v euklidovské geometrii před více než dvěma tisíci lety.
Hlavní charakteristiky klasické geometrie
Zrod této vědní disciplíny je spojen se slavným dílem starověkého řeckého myslitele Euklida, který ve třetím století před naším letopočtem napsal brožuru „Počátky“. Elementy, rozdělené do třinácti knih, byly nejvyšším úspěchem celé starověké matematiky a stanovily základní postuláty spojené s vlastnostmi rovinných obrazců.
Klasická podmínka pro rovnoběžnost rovin byla formulována následovně: dvě roviny lze nazvat rovnoběžné, pokud spolu nemají společné body. Toto byl pátý postulát euklidovské práce.
Vlastnosti rovnoběžných rovin
V euklidovské geometrii jich je obvykle pět:
První vlastnost (popisuje rovnoběžnost rovin a jejich jedinečnost). Prostřednictvím jednoho bodu, který leží mimo konkrétní danou rovinu, můžeme nakreslit jednu a pouze jednu rovinu rovnoběžnou s ním
- Druhá vlastnost (nazývaná také vlastnost tří rovnoběžek). Když jsou dvě letadlarovnoběžné se třetím, jsou také navzájem rovnoběžné.
Třetí vlastnost (jinými slovy se nazývá vlastnost přímky protínající rovnoběžnost rovin). Pokud jedna přímka protíná jednu z těchto rovnoběžných rovin, protne druhou
Čtvrtá vlastnost (vlastnost rovných čar řezaných v rovinách navzájem rovnoběžných). Když se dvě rovnoběžné roviny protínají s třetí (v libovolném úhlu), jejich průsečíky jsou také rovnoběžné
Pátá vlastnost (vlastnost, která popisuje segmenty různých rovnoběžných čar, které jsou uzavřeny mezi rovinami, které jsou vzájemně rovnoběžné). Segmenty těchto rovnoběžných čar, které jsou uzavřeny mezi dvěma rovnoběžnými rovinami, jsou nutně stejné
Paralelismus rovin v neeuklidovských geometriích
Takovými přístupy jsou zejména geometrie Lobačevského a Riemanna. Jestliže Euklidova geometrie byla realizována na plochých prostorech, pak Lobačevského geometrie byla realizována v záporně zakřivených prostorech (prostě zakřivených) a u Riemanna nachází svou realizaci v pozitivně zakřivených prostorech (jinými slovy koulích). Existuje velmi běžný stereotypní názor, že Lobačevského rovnoběžné roviny (a také přímky) se protínají.
To však není správné. Zrození hyperbolické geometrie bylo skutečně spojeno s důkazem Euklidova pátého postulátu a změnoupohledy na to však již ze samotné definice rovnoběžných rovin a linií vyplývá, že se nemohou protínat ani u Lobačevského, ani u Riemanna, ať už jsou realizovány v jakémkoli prostoru. A změna názorů a formulací byla následující. Postulát, že bodem, který neleží v dané rovině, lze vést pouze jednou rovnoběžnou rovinou, byl nahrazen jinou formulací: bodem, který neleží v dané rovině, alespoň dvě přímky, které leží v stejná rovina jako daná a neprotínají ji.
