Matematika pochází ze starověku. Díky ní dala architektura, stavebnictví a vojenská věda nové kolo vývoje, úspěchy získané pomocí matematiky vedly k pohybu pokroku. Dodnes zůstává matematika hlavní vědou, která se vyskytuje ve všech ostatních odvětvích.
Aby se děti z prvního stupně vzdělávaly, začínají do tohoto prostředí postupně splývat. Je velmi důležité porozumět matematice, protože v té či oné míře napadá každého člověka po celý život. Tento článek bude analyzovat jeden z klíčových prvků – nalezení a použití derivátů. Ne každý si dokáže představit, jak široce se tento koncept používá. Zvažte více než 10 aplikací derivátů v určitých oborech nebo vědách.
Použití derivace při studiu funkce
Derivace je takový limitpoměr přírůstku funkce k přírůstku jejího argumentu, když exponent argumentu směřuje k nule. Derivace je nepostradatelná věc při studiu funkce. Lze jej například použít k určení nárůstu a poklesu posledně jmenovaného, extrémů, konvexnosti a konkávnosti. Diferenciální počet je součástí povinného vzdělávacího programu pro studenty 1. a 2. ročníku matematických univerzit.
Nuly rozsahu a funkce
První fáze jakéhokoli studia grafu začíná zjištěním oblasti definice, ve vzácnějších případech - hodnoty. Oblast definice je nastavena podél osy abscisy, jinými slovy, jedná se o číselné hodnoty na ose OX. Rozsah je často již nastaven, ale pokud není, měla by být vyhodnocena hodnota argumentu x. Předpokládejme, že pokud pro některé hodnoty argumentu funkce nedává smysl, pak je tento argument vyloučen z rozsahu.
Nuly funkce se nalézají jednoduchým způsobem: funkce f(x) se rovná nule a výsledná rovnice se řeší s ohledem na jednu proměnnou x. Získané kořeny rovnice jsou nuly funkce, to znamená, že v těchto x je funkce 0.
Zvýšení a snížení
Použití derivace ke studiu funkcí pro monotónnost lze uvažovat ze dvou pozic. Monotónní funkce je kategorie, která má pouze kladné hodnoty derivace nebo pouze záporné hodnoty. Jednoduše řečeno, funkce se během celého zkoumaného intervalu pouze zvyšuje nebo pouze snižuje:
- Zvýšení parametru. Funkcef(x) se zvýší, pokud je derivace f`(x) větší než nula.
- Sestupný parametr. Funkce f(x) se sníží, pokud je derivace f`(x) menší než nula.
Tečna a sklon
Použití derivace ke studiu funkce je také určeno tečnou (přímka vedená pod úhlem) ke grafu funkce v daném bodě. Tečna v bodě (x0) - přímka, která prochází bodem a patří k funkci, jejíž souřadnice jsou (x0, f(x 0 )) a mající sklon f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - rovnice tečny k danému bodu grafu funkce.
Geometrický význam derivace: derivace funkce f(x) je rovna sklonu vytvořené tečny ke grafu této funkce v daném bodě x. Úhlový koeficient se zase rovná tangenci úhlu sklonu tečny k ose OX (úsečka) v kladném směru. Tento důsledek je zásadní pro aplikaci derivace na graf funkce.
Extrémní body
Použití derivace na studii vyžaduje nalezení vysokých a nízkých bodů.
Abyste našli a určili minimální a maximální počet bodů, musíte:
- Najděte derivaci funkce f(x).
- Výslednou rovnici nastavte na nulu.
- Najděte kořeny rovnice.
- Najděte nejvyšší a nejnižší body.
Chcete-li najít extrémyvlastnosti:
- Najděte minimální a maximální počet bodů pomocí výše uvedené metody.
- Dosaďte tyto body do původní rovnice a vypočítejte ymax a ymin
Maximální bod funkce je největší hodnota funkce f(x) na intervalu, jinými slovy xmax.
Minimální bod funkce je nejmenší hodnota funkce f(x) na intervalu, jinými slovy xjméno
Extrémní body jsou stejné jako maximální a minimální body a extrémy funkce (ymax. a yminimum) - funkční hodnoty, které odpovídají extrémním bodům.
Konvexita a konkávnost
Konvexitu a konkávnost můžete určit použitím derivace pro vykreslování:
- Funkce f(x) zkoumaná na intervalu (a, b) je konkávní, pokud se funkce nachází pod všemi svými tečnami v tomto intervalu.
- Funkce f(x) studovaná na intervalu (a, b) je konvexní, pokud se funkce nachází nad všemi svými tečnami uvnitř tohoto intervalu.
Bod, který odděluje konvexnost a konkávnost, se nazývá inflexní bod funkce.
Jak najít inflexní body:
- Najděte kritické body druhého druhu (druhá derivace).
- Inflexní body jsou kritické body, které oddělují dvě protilehlá znaménka.
- Vypočítejte hodnoty funkcí v inflexních bodech funkcí.
Parciální deriváty
Aplikacev úlohách, kde se používá více než jedna neznámá proměnná, existují derivace tohoto typu. Nejčastěji se s takovými derivacemi setkáváme při vykreslování funkčního grafu, přesněji řečeno ploch v prostoru, kde místo dvou os jsou tři, tedy tři veličiny (dvě proměnné a jedna konstanta).
Základním pravidlem při výpočtu parciálních derivací je vybrat jednu proměnnou a zbytek považovat za konstanty. Při výpočtu parciální derivace se tedy konstanta stává jakoby číselnou hodnotou (v mnoha tabulkách derivací se označují jako C=konst). Význam takové derivace je rychlost změny funkce z=f(x, y) podél os OX a OY, to znamená, že charakterizuje strmost prohlubní a vyboulení sestrojené plochy.
Derivace ve fyzice
Použití derivace ve fyzice je rozšířené a důležité. Fyzikální význam: derivace dráhy s ohledem na čas je rychlost a zrychlení je derivace rychlosti s ohledem na čas. Z fyzikálního významu lze mnoho větví přitáhnout k různým odvětvím fyziky při úplném zachování významu odvozeniny.
Pomocí derivace jsou nalezeny následující hodnoty:
- Rychlost v kinematice, kde se počítá derivace ujeté vzdálenosti. Pokud je nalezena druhá derivace dráhy nebo první derivace rychlosti, pak je nalezeno zrychlení tělesa. Kromě toho je možné zjistit okamžitou rychlost hmotného bodu, ale k tomu je nutné znát přírůstek ∆t a ∆r.
- V elektrodynamice:výpočet okamžité síly střídavého proudu, stejně jako EMF elektromagnetické indukce. Výpočtem derivace můžete zjistit maximální výkon. Derivací množství elektrického náboje je síla proudu ve vodiči.
Derivace v chemii a biologii
Chemie: Derivát se používá k určení rychlosti chemické reakce. Chemický význam derivace: funkce p=p(t), v tomto případě p je množství látky, které za čas t vstoupí do chemické reakce. ∆t - časový přírůstek, ∆p - přírůstek látkového množství. Hranice poměru ∆p ku ∆t, při které má ∆t tendenci k nule, se nazývá rychlost chemické reakce. Průměrná hodnota chemické reakce je poměr ∆p/∆t. Při určování otáček je nutné znát přesně všechny potřebné parametry, podmínky, znát agregátní stav látky a proudícího média. Toto je poměrně velký aspekt v chemii, který je široce používán v různých průmyslových odvětvích a lidských činnostech.
Biologie: pojem derivát se používá k výpočtu průměrné míry reprodukce. Biologický význam: máme funkci y=x(t). ∆t - časový přírůstek. Pak pomocí některých transformací získáme funkci y`=P(t)=x`(t) - vitální aktivitu populace času t (průměrná míra reprodukce). Toto použití derivátu vám umožňuje vést statistiky, sledovat rychlost reprodukce atd.
Derivace v geografii a ekonomii
Derivace umožňuje geografům rozhodnoutúkoly, jako je zjištění populace, výpočet hodnot v seismografii, výpočet radioaktivity jaderných geofyzikálních indikátorů, výpočet interpolace.
V ekonomii je důležitou součástí výpočtů diferenciální počet a výpočet derivátu. V první řadě nám to umožňuje stanovit hranice potřebných ekonomických hodnot. Například nejvyšší a nejnižší produktivita práce, náklady, zisky. V zásadě se tyto hodnoty počítají z funkčních grafů, kde nacházejí extrémy, určují monotónnost funkce v požadované oblasti.
Závěr
Role tohoto diferenciálního počtu se účastní, jak je uvedeno v článku, v různých vědeckých strukturách. Použití derivačních funkcí je důležitým prvkem v praktické části vědy a výroby. Ne nadarmo nás na střední a vysoké škole učili vytvářet složité grafy, zkoumat a pracovat na funkcích. Jak vidíte, bez derivací a diferenciálních výpočtů by nebylo možné vypočítat životně důležité ukazatele a veličiny. Lidstvo se naučilo modelovat různé procesy a zkoumat je, řešit složité matematické problémy. Matematika je skutečně královnou všech věd, protože tato věda je základem všech ostatních přírodních a technických disciplín.
