Pětiboký hranol při řešení problémů v geometrii je mnohem méně běžný než hranoly jako trojúhelníkový, čtyřúhelníkový nebo šestiúhelníkový. Přesto je užitečné zopakovat si základní vlastnosti tohoto tvaru a naučit se jej kreslit.
Co je pětiboký hranol?
Toto je trojrozměrný obrazec, jehož základy jsou pětiúhelníky a strany jsou rovnoběžníky. Pokud je každý z těchto rovnoběžníků kolmý k rovnoběžným základnám, pak se takový hranol nazývá obdélníkový. Boční plocha pravoúhlého pětibokého hranolu se skládá z pěti obdélníků. Navíc strana přilehlá k základně každého z nich je rovna odpovídající délce strany pětiúhelníku.
Pokud je pětiúhelník pravidelný, to znamená, že všechny jeho strany a úhly jsou si navzájem rovné, pak se takový pravoúhlý hranol nazývá pravidelný. Dále v článku zvážíme vlastnosti tohoto konkrétního obrázku.
Prvky hranolu
Pro ni, stejně jako pro jakýkoli hranol,následující prvky jsou charakteristické:
- tváře nebo strany jsou části rovin, které spojují postavu v prostoru;
- vrcholy - průsečíky tří stran;
- žebra - segmenty průniku dvou stran obrázku.
Čísla všech pojmenovaných prvků jsou ve vzájemném vztahu podle následující rovnosti:
Počet hran=počet vrcholů + počet ploch - 2
Tento výraz se nazývá Eulerův vzorec pro mnohostěn.
V pětibokém hranolu je počet stran sedm (dvě základny + pět obdélníků). Počet vrcholů je 10 (pět pro každou bázi). Počet hran v tomto případě bude:
Počet žeber=10 + 7 - 2=15
Deset hran patří k základnám hranolu a pět hran je tvořeno obdélníky.
Jak nakreslit pětiboký hranol?
Odpověď na tuto otázku závisí na konkrétním úkolu. Pokud je nutné nakreslit libovolný hranol, pak by měl být nakreslen jakýkoli pětiúhelník. Poté nakreslete pět rovnoběžných segmentů stejné délky z každého vrcholu pětiúhelníku. Poté spojte horní konce segmentů. Výsledkem je pětiúhelníkový libovolný hranol.
Pokud je nutné nakreslit pravidelný hranol, pak celá složitost úkolu spočívá v získání pravidelného pětiúhelníku. Existuje několik způsobů, jak tento mnohoúhelník nakreslit. Zde budeme zvažovat pouze dva způsoby.
Prvním způsobem je nakreslit kružnici pomocí kružítka. Poté se nakreslí libovolný průměrkruh a z něj se počítá pět úhlů pomocí úhloměru na 72o(572o=360o). Při počítání každého úhlu se na kruhu udělá zářez. K sestavení obdélníku zbývá spojit označené zářezy rovnými segmenty.
Druhá metoda zahrnuje použití pouze kružítka a pravítka. Ve srovnání s předchozím je poněkud složitější. Níže je video, které podrobně vysvětluje každý krok této sestavy.
Všimněte si, že je snadné nakreslit pětiúhelník, pokud spojíte konce hvězdy. Pokud není nutné kreslit přesně pravidelný pětiúhelník, můžete použít metodu ručně kreslené hvězdy.
Jakmile je pětiúhelník nakreslený, nakreslete pět stejných rovnoběžných segmentů z každého z jeho vrcholů a spojte jejich vrcholy. Výsledkem je pětiboký hranol.
Shape area
Nyní zvažte, jak najít oblast pětibokého hranolu. Níže uvedený obrázek ukazuje její vývoj. Je vidět, že požadovaná plocha je tvořena dvěma stejnými pětiúhelníky a pěti navzájem rovnými obdélníky.
Plocha celého povrchu obrázku je vyjádřena vzorcem:
S=2So+ 5Sp
Zde indexy o a p znamenají základnu a obdélník. Označme délku strany pětiúhelníku jako a a výšku postavy jako h. Pak pro obdélník napíšeme:
Sp=ah
Pro výpočet plochy pětiúhelníku,použijte univerzální vzorec:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Kde n je počet stran mnohoúhelníku. Dosazením n=5 dostaneme:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
Přesnost výsledné rovnosti je 3 desetinná místa, což je docela dost na vyřešení jakýchkoli problémů.
Nyní zbývá najít součet získaných ploch základny a bočního povrchu. Máme:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Je třeba si uvědomit, že výsledný vzorec platí pouze pro pravoúhlý hranol. V případě šikmé postavy se plocha její boční plochy zjistí na základě znalosti obvodu řezu, který musí být kolmý ke všem rovnoběžníkům.
Objem obrázku
Vzorec pro výpočet objemu pětibokého hranolu se neliší od podobného výrazu pro jakýkoli jiný hranol nebo válec. Objem postavy se rovná součinu její výšky a plochy základny:
V=Soh
Pokud je daný hranol obdélníkový, pak jeho výška je délkou hrany tvořené obdélníky. Plocha pravidelného pětiúhelníku byla vypočtena výše s vysokou přesností. Dosaďte tuto hodnotu do vzorce pro objem a získejte potřebný výraz pro pravidelný pětiboký hranol:
V=1, 72a2h
Výpočet objemu a povrchupravidelný pětiboký hranol je možný, pokud je známa strana základny a výška postavy.
