Stereometrie je studium vlastností trojrozměrných geometrických tvarů. Jedním ze známých objemových útvarů, které se objevují v úlohách geometrie, je přímý hranol. Podívejme se v tomto článku, co to je, a také podrobně popišme hranol s trojúhelníkovou základnou.
Prisma a jeho typy
Prizma je obrazec, který vzniká jako výsledek paralelního posunu mnohoúhelníku v prostoru. V důsledku této geometrické operace se vytvoří obrazec skládající se z několika rovnoběžníků a dvou identických mnohoúhelníků navzájem rovnoběžných. Rovnoběžníky jsou strany hranolu a mnohoúhelníky jsou jeho základnami.
Jakýkoli hranol má n+2 stran, 3n hran a 2n vrcholů, kde n je počet rohů nebo stran polygonální základny. Obrázek ukazuje pětiboký hranol, který má 7 stran, 10 vrcholů a 15 hran.
Uvažovanou třídu obrazců představuje několik typů hranolů. Stručně je vyjmenujeme:
- konkávní a konvexní;
- šikmé a rovné;
- špatně a správně.
Každá postava patří do jednoho z uvedených tří typů klasifikace. Při řešení geometrických úloh je nejjednodušší provádět výpočty pro pravidelné a přímé hranoly. O tom posledním bude podrobněji pojednáno v následujících odstavcích článku.
Co je to přímý hranol?
Přímý hranol je konkávní nebo konvexní, pravidelný nebo nepravidelný hranol, ve kterém jsou všechny strany reprezentovány čtyřúhelníky s úhly 90°. Pokud alespoň jeden ze čtyřúhelníků stran není obdélník nebo čtverec, pak se hranol nazývá šikmý. Lze uvést i jinou definici: rovný hranol je takový obrazec dané třídy, u kterého se libovolná boční hrana rovná výšce. Pod výškou h hranolu se předpokládá vzdálenost mezi jeho základnami.
Obě uvedené definice, že jde o přímý hranol, jsou rovnocenné a soběstačné. Z nich vyplývá, že všechny úhly vzepětí mezi kteroukoli ze základen a každou stranou jsou 90°.
Výše bylo řečeno, že při řešení problémů je vhodné pracovat s rovnými figurami. To je způsobeno tím, že výška odpovídá délce bočního žebra. Tato skutečnost usnadňuje proces výpočtu objemu obrazce a plochy jeho bočního povrchu.
Objem přímého hranolu
Objem – hodnota vlastní každému prostorovému obrazci, která číselně odráží část prostoru uzavřeného mezi povrchy uvažovanéhoobjekt. Objem hranolu lze vypočítat pomocí následujícího obecného vzorce:
V=Soh.
To znamená, že součin výšky a plochy základny dá požadovanou hodnotu V. Protože základny přímého hranolu jsou stejné, pak pro určení plochy So můžete si vzít kteroukoli z nich.
Výhoda použití výše uvedeného vzorce speciálně pro přímý hranol ve srovnání s jeho jinými typy je, že je velmi snadné najít výšku postavy, protože se shoduje s délkou boční hrany.
Postranní oblast
Je vhodné vypočítat nejen objem pro rovný obrazec uvažované třídy, ale také jeho boční povrch. Každá jeho strana je ve skutečnosti buď obdélník, nebo čtverec. Každý student ví, jak vypočítat plochu těchto plochých obrazců, k tomu je nutné vynásobit sousední strany navzájem.
Předpokládejme, že základna hranolu je libovolný n-úhelník, jehož strany se rovnají ai. Index i běží od 1 do n. Plocha jednoho obdélníku se vypočítá takto:
Si=aih.
Plocha boční plochy Sb se snadno spočítá, pokud sečtete všechny plochy Si obdélníků. V tomto případě dostaneme konečný vzorec pro Sbpřímý hranol:
Sb=h∑i=1(ai)=hPo.
Pro určení plochy bočního povrchu přímého hranolu musíte vynásobit jeho výšku obvodem jedné základny.
Problém s trojúhelníkovým hranolem
Předpokládejme, že je dán rovný hranol. Základem je pravoúhlý trojúhelník. Nohy tohoto trojúhelníku jsou 12 cm a 8 cm. Pokud je výška hranolu 15 cm, je nutné vypočítat objem postavy a její celkovou plochu.
Nejprve spočítejme objem přímého hranolu. Trojúhelník (obdélníkový) umístěný na jeho základnách má obsah:
So=a1a2/2=128/2=48 cm2.
Jak asi tušíte, a1 a a2 jsou nohy v této rovnici. Když znáte základní plochu a výšku (viz stav problému), můžete použít vzorec pro V:
V=Soh=4815=720 cm3.
Celková plocha figury je tvořena dvěma částmi: plochami podstav a bočním povrchem. Oblasti dvou základen jsou:
S2o=2So=482=96 cm2.
Abyste mohli vypočítat boční povrch, potřebujete znát obvod pravoúhlého trojúhelníku. Vypočítejte pomocí Pythagorovy věty její přeponu a3, máme:
a3 =√(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14,42 cm.
Pak obvod trojúhelníku podstavy pravého hranolu bude:
P=a1+ a2+ a3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.
Použití vzorce pro Sb, který byl napsán v předchozím odstavci,získat:
Sb=vP=1534, 42=516, 3 cm.
Přičtením oblastí S2o a Sb získáme celkovou plochu studovaného geometrického útvaru:
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3cm2.
Trojúhelníkový hranol, který je vyroben ze speciálních typů skla, se používá v optice ke studiu spekter objektů vyzařujících světlo. Takové hranoly jsou schopny rozkládat světlo na jednotlivé frekvence díky jevu disperze.
