Sekundy, tečny – to vše bylo v hodinách geometrie slyšet stokrát. Ale absolvování školy je pryč, léta plynou a všechny tyto znalosti jsou zapomenuty. Co je třeba mít na paměti?
Essence
Pojem „tečna ke kruhu“zná pravděpodobně každý. Ale je nepravděpodobné, že každý bude schopen rychle formulovat jeho definici. Mezitím je tečna taková přímka ležící ve stejné rovině s kružnicí, která ji protíná pouze v jednom bodě. Může jich být obrovské množství, ale všechny mají stejné vlastnosti, o kterých bude řeč níže. Jak asi tušíte, bod dotyku je místo, kde se kružnice a přímka protínají. V každém případě je to jeden, ale pokud jich bude více, bude to secant.
Historie objevů a studia
Koncept tečny se objevil již ve starověku. Konstrukce těchto přímek nejprve ke kružnici a poté k elipsám, parabolám a hyperbolám pomocí pravítka a kružítka probíhala již v počátečních fázích vývoje geometrie. Historie samozřejmě nezachovala jméno objevitele, aleje zřejmé, že již v té době si lidé dobře uvědomovali vlastnosti tečny ke kružnici.
V moderní době se zájem o tento fenomén znovu rozhořel - začalo nové kolo studia tohoto konceptu v kombinaci s objevováním nových křivek. Galileo tedy představil koncept cykloidy a Fermat a Descartes k němu postavili tečnu. Pokud jde o kruhy, zdá se, že v této oblasti nezůstala pro starověká žádná tajemství.
Vlastnosti
Poloměr nakreslený k průsečíku bude kolmý na čáru. Toto je
hlavní, ale ne jediná vlastnost, kterou má tečna ke kružnici. Další důležitou vlastností jsou již dvě přímky. Takže přes jeden bod ležící mimo kružnici lze nakreslit dvě tečny, přičemž jejich segmenty budou stejné. Na toto téma existuje další teorém, který se však v rámci standardního školního kurzu probírá jen zřídka, i když je pro řešení některých problémů mimořádně vhodný. Zní to takto. Z jednoho bodu umístěného mimo kružnici je k němu nakreslena tečna a sečna. Vznikají segmenty AB, AC a AD. A je průsečík čar, B je bod dotyku, C a D jsou průsečíky. V tomto případě bude platit následující rovnost: délka tečny ke kružnici, na druhou, bude rovna součinu segmentů AC a AD.
Z výše uvedeného vyplývá důležitý důsledek. Pro každý bod kružnice můžete postavit tečnu, ale pouze jednu. Důkaz toho je docela jednoduchý: teoreticky shozením kolmice z poloměru na ni zjistíme, žetrojúhelník nemůže existovat. A to znamená, že tečna je jediná.
Building
Mezi další problémy v geometrii existuje zpravidla zvláštní kategorie, nikoli
milují žáci a studenti. K řešení úloh z této kategorie potřebujete pouze kružítko a pravítko. To jsou stavební úkoly. Existují také metody pro konstrukci tečny.
Pokud je tedy dána kružnice a bod ležící mimo její hranice. A přes ně je nutné nakreslit tečnu. Jak to udělat? Nejprve je potřeba nakreslit úsečku mezi středem kružnice O a daným bodem. Poté pomocí kružítka rozdělte na polovinu. K tomu je potřeba nastavit poloměr – o něco více než polovina vzdálenosti mezi středem původní kružnice a daným bodem. Poté musíte postavit dva protínající se oblouky. Kromě toho není nutné měnit poloměr kružnice a střed každé části kruhu bude počátečním bodem a O. Průsečíky oblouků musí být spojeny, čímž se segment rozdělí na polovinu. Na kompasu nastavte poloměr rovný této vzdálenosti. Dále se středem v průsečíku nakreslete další kružnici. Na něm bude ležet počáteční bod i bod O. V tomto případě budou další dva průsečíky s kružnicí uvedenou v úloze. Budou to kontaktní body pro původně daný bod.
Zajímavé
Byla to konstrukce tečen ke kruhu, která vedla ke zrodu
diferenciální počet. První práce na toto téma bylavydal slavný německý matematik Leibniz. Poskytoval možnost nalezení maxim, minim a tečen bez ohledu na zlomkové a iracionální hodnoty. Nyní se používá také pro mnoho dalších výpočtů.
Kromě toho tečna ke kružnici souvisí s geometrickým významem tečny. Odtud pochází jeho název. V překladu z latiny znamená tangens „tangens“. Tento koncept je tedy spojen nejen s geometrií a diferenciálním počtem, ale také s trigonometrií.
Dva kruhy
Ne vždy tečna ovlivňuje pouze jeden tvar. Pokud lze do jednoho kruhu nakreslit obrovské množství přímých čar, tak proč ne naopak? Umět. Úkol je však v tomto případě vážně komplikovaný, protože tečna ke dvěma kružnicím nemusí procházet žádnými body a vzájemná poloha všech těchto obrazců může být velmi
různé.
Typy a odrůdy
Pokud jde o dva kruhy a jednu nebo více čar, i když je známo, že se jedná o tečny, není okamžitě jasné, jak jsou všechny tyto obrazce ve vzájemném vztahu umístěny. Na základě toho existuje několik odrůd. Kružnice tedy mohou mít jeden nebo dva společné body nebo je mít vůbec. V prvním případě se protnou a ve druhém se budou dotýkat. A tady jsou dvě odrůdy. Pokud je jeden kruh jakoby zasazen do druhého, pak se dotyk nazývá vnitřní, pokud ne, pak vnější. rozumět vzájemnéumístění obrazců je možné nejen na základě výkresu, ale také s informací o součtu jejich poloměrů a vzdálenosti mezi jejich středy. Pokud jsou tyto dvě veličiny stejné, pak se kruhy dotýkají. Pokud je první větší, protínají se, a pokud je menší, nemají společné body.
Totéž s rovnými čarami. Pro jakékoli dva kruhy, které nemají společné body, můžete
sestrojte čtyři tečny. Dvě z nich se budou protínat mezi obrazci, nazývají se vnitřní. Několik dalších je externích.
Pokud mluvíme o kruzích, které mají jeden společný bod, pak je úkol značně zjednodušen. Faktem je, že pro jakékoli vzájemné uspořádání v tomto případě budou mít pouze jednu tečnu. A projde bodem jejich průsečíku. Takže konstrukce obtížnosti nezpůsobí.
Pokud mají obrazce dva průsečíky, lze pro ně sestrojit přímku, tečnou ke kružnici, a to jak jednu, tak druhou, ale pouze vnější. Řešení tohoto problému je podobné tomu, co bude probráno níže.
Řešení problémů
Jak vnitřní, tak vnější tečny ke dvěma kružnicím není tak snadné sestrojit, i když tento problém lze vyřešit. Faktem je, že se k tomu používá pomocná figura, takže si tuto metodu vymyslete sami
docela problematické. Dáme tedy dvě kružnice s různými poloměry a středy O1 a O2. Pro ně musíte postavit dva páry tečen.
Za prvé, blízko středu většíhokruhy je třeba postavit pomocné. V tomto případě musí být rozdíl mezi poloměry dvou počátečních obrazců stanoven na kompasu. Tečny k pomocné kružnici se staví ze středu menší kružnice. Poté jsou z O1 a O2 nakresleny kolmice k těmto čarám, dokud se neprotnou s původními obrazci. Jak vyplývá z hlavní vlastnosti tečny, jsou nalezeny požadované body na obou kružnicích. Problém vyřešen, alespoň jeho první část.
Abyste mohli sestrojit vnitřní tečny, budete muset prakticky vyřešit
podobný úkol. Opět je potřeba pomocná figura, ale její poloměr bude tentokrát roven součtu těch původních. Tečny jsou k němu konstruovány ze středu jedné z daných kružnic. Další průběh řešení lze pochopit z předchozího příkladu.
Tečna ke kruhu nebo dokonce ke dvěma nebo více není tak obtížný úkol. Matematici samozřejmě již dávno přestali řešit takové problémy ručně a svěřili výpočty speciálním programům. Ale nemyslete si, že nyní není nutné umět to sami, protože pro správné formulování úkolu pro počítač musíte udělat a pochopit hodně. Bohužel panují obavy, že po definitivním přechodu na testovou formu kontroly znalostí budou konstrukční úlohy způsobovat studentům stále větší potíže.
Pokud jde o nalezení společných tečen pro více kružnic, není vždy možné, i když leží ve stejné rovině. Ale v některých případech můžete najít takovou rovnou čáru.
Příklady ze života
V praxi se často setkáváme se společnou tečnou ke dvěma kružnicím, i když to není vždy patrné. Dopravníky, blokové systémy, řemeny řemenic, napětí nití v šicím stroji a dokonce i řetěz jízdního kola - to vše jsou příklady ze života. Nemyslete si tedy, že geometrické problémy zůstávají pouze v teorii: ve strojírenství, fyzice, stavebnictví a mnoha dalších oblastech nacházejí praktické aplikace.
