Jakákoli fyzikální veličina navržená v matematických rovnicích při studiu určitého přírodního jevu má nějaký význam. Moment setrvačnosti není výjimkou z tohoto pravidla. Fyzikální význam této veličiny je podrobně popsán v tomto článku.
Moment setrvačnosti: matematická formulace
Především je třeba říci, že uvažovaná fyzikální veličina se používá k popisu rotačních systémů, tedy takových pohybů objektu, které se vyznačují kruhovými trajektoriemi kolem nějaké osy nebo bodu.
Uveďme matematický vzorec pro moment setrvačnosti pro hmotný bod:
I=mr2.
Zde m a r jsou hmotnost částice a poloměr rotace (vzdálenost k ose). Jakékoli pevné těleso, bez ohledu na to, jak složité může být, lze mentálně rozdělit na hmotné body. Potom bude vzorec pro moment setrvačnosti v obecném tvaru vypadat takto:
I=∫mr2dm.
Tento výraz je vždy pravdivý, a to nejen pro trojrozměrné,ale také pro dvourozměrná (jednorozměrná) tělesa, tedy pro roviny a tyče.
Z těchto vzorců je obtížné pochopit význam fyzikálního momentu setrvačnosti, ale lze vyvodit důležitý závěr: závisí na rozložení hmoty v tělese, které se otáčí, a také na vzdálenosti k osa otáčení. Navíc závislost na r je ostřejší než na m (viz čtverec ve vzorcích).
Kruhový pohyb
Pochopte, jaký je fyzikální význam momentu setrvačnosti, je nemožné, pokud neuvažujete kruhový pohyb těles. Aniž bychom zacházeli do podrobností, zde jsou dva matematické výrazy, které popisují rotaci:
I1ω1=I2ω 2;
M=I dω/dt.
Horní rovnice se nazývá zákon zachování veličiny L (hybnost). To znamená, že bez ohledu na to, jaké změny nastanou v systému (nejprve došlo k momentu setrvačnosti I1, a pak se rovnal I2), součin I k úhlové rychlosti ω, tedy moment hybnosti, zůstane nezměněn.
Spodní výraz demonstruje změnu rychlosti otáčení systému (dω/dt), když na něj působí určitý moment síly M, který má vnější charakter, to znamená, že je generován silami ne související s interními procesy v uvažovaném systému.
Horní i dolní rovnost obsahují I a čím větší je její hodnota, tím nižší je úhlová rychlost ω nebo úhlové zrychlení dω/dt. To je fyzický význam okamžiku.setrvačnost těla: odráží schopnost systému udržet si svou úhlovou rychlost. Čím více já, tím silnější se tato schopnost projevuje.
Lineární analogie hybnosti
Nyní přejděme ke stejnému závěru, který byl vysloven na konci předchozího odstavce, načrtneme analogii mezi rotačním a translačním pohybem ve fyzice. Jak víte, ten druhý je popsán následujícím vzorcem:
p=mv.
Tento jednoduchý výraz určuje hybnost systému. Porovnejme jeho tvar s tvarem pro moment hybnosti (viz horní výraz v předchozím odstavci). Vidíme, že hodnoty v a ω mají stejný význam: první charakterizuje rychlost změny lineárních souřadnic objektu, druhá charakterizuje úhlové souřadnice. Protože oba vzorce popisují proces rovnoměrného (rovnoúhlého) pohybu, hodnoty m a I musí mít také stejný význam.
Nyní zvažte 2. Newtonův zákon, který je vyjádřen vzorcem:
F=ma.
Věnujeme-li pozornost tvaru nižší rovnosti v předchozím odstavci, máme podobnou situaci jako uvažovaná. Moment síly M v jeho lineárním zobrazení je síla F a lineární zrychlení a je zcela analogické s úhlovým dω/dt. A opět se dostáváme k ekvivalenci hmotnosti a momentu setrvačnosti.
Jaký je význam hmotnosti v klasické mechanice? Je to míra setrvačnosti: čím větší m, tím obtížnější je přesunout objekt z jeho místa a ještě více mu dát zrychlení. Totéž lze říci o momentu setrvačnosti ve vztahu k pohybu rotace.
Fyzikální význam momentu setrvačnosti na příkladu domácnosti
Položme si jednoduchou otázku, jak je snazší otočit kovovou tyč, například výztuž - když osa otáčení směřuje podél její délky nebo když je napříč? Samozřejmě je jednodušší tyč v prvním případě roztočit, protože její moment setrvačnosti pro takovou polohu osy bude velmi malý (u tenké tyče je roven nule). Stačí tedy držet předmět mezi dlaněmi a mírným pohybem jej uvést do rotace.
Mimochodem, popsanou skutečnost experimentálně ověřili naši předkové v dávných dobách, kdy se učili rozdělávat oheň. Roztočili knipl s obrovskými úhlovými zrychleními, což vedlo k vytvoření velkých třecích sil a v důsledku toho k uvolnění značného množství tepla.
Setrvačník automobilu je ukázkovým příkladem využití velkého momentu setrvačnosti
Na závěr bych rád uvedl pro moderní technologii asi nejdůležitější příklad využití fyzikálního významu momentu setrvačnosti. Setrvačník automobilu je pevný ocelový disk s poměrně velkým poloměrem a hmotností. Tyto dvě hodnoty určují existenci významné hodnoty, kterou ji charakterizuji. Setrvačník je navržen tak, aby „změkčil“případné silové účinky na klikový hřídel vozu. Impulzivní povaha působících momentů sil od válců motoru ke klikovému hřídeli je vyhlazená a hladká díky těžkému setrvačníku.
Mimochodem, čím větší je moment hybnostivíce energie je v rotujícím systému (analogie s hmotností). Inženýři chtějí využít této skutečnosti, ukládat brzdnou energii automobilu do setrvačníku, aby ji následně nasměrovali ke zrychlení vozidla.
