Pokud je lineární pohyb těles popsán v klasické mechanice pomocí Newtonových zákonů, pak se charakteristiky pohybu mechanických systémů po kruhových trajektoriích počítají pomocí speciálního výrazu, který se nazývá rovnice momentů. O jakých momentech mluvíme a jaký je význam této rovnice? Tyto a další otázky jsou uvedeny v článku.
Moment síly
Každý dobře zná newtonovskou sílu, která působí na tělo a vede k tomu, že mu uděluje zrychlení. Když taková síla působí na předmět, který je upevněn na určité ose rotace, pak se tato charakteristika obvykle nazývá moment síly. Rovnici momentu síly lze zapsat následovně:
M¯=L¯F¯
Obrázek vysvětlující tento výraz je uveden níže.
Zde vidíte, že síla F¯ směřuje k vektoru L¯ pod úhlem Φ. Předpokládá se, že samotný vektor L je nasměrován z osy rotace (označené šipkou) k bodu aplikace. F¯.
Výše uvedený vzorec je součinem dvou vektorů, takže M¯ je také směrový. Kam se otočí moment síly M¯? To lze určit pravidlem pravé ruky (čtyři prsty směřují podél trajektorie od konce vektoru L¯ ke konci F¯ a levý palec ukazuje směr M¯).
Na obrázku výše bude výraz pro moment síly ve skalární formě mít tvar:
M=LFsin(Φ)
Pokud se podíváte pozorně na obrázek, můžete vidět, že Lsin(Φ)=d, pak máme vzorec:
M=dF
Hodnota d je důležitou charakteristikou při výpočtu momentu síly, protože odráží účinnost aplikovaného F na systém. Tato hodnota se nazývá páka síly.
Fyzikální význam M spočívá ve schopnosti síly otáčet systémem. Každý tuto schopnost pocítí, když otevře dveře za kliku, zatlačí na ně blízko pantů nebo když se pokusí odšroubovat matici krátkým a dlouhým klíčem.
Rovnováha systému
Koncept momentu síly je velmi užitečný, když uvažujeme o rovnováze systému, na který působí více sil a má osu nebo bod otáčení. V takových případech použijte vzorec:
∑iMi¯=0
To znamená, že systém bude v rovnováze, pokud součet všech momentů sil, které na něj působí, bude nulový. Všimněte si, že v tomto vzorci je vektorový znak nad okamžikem, to znamená, že při řešení byste neměli zapomenout vzít v úvahu znak tohotomnožství. Obecně uznávaným pravidlem je, že působící síla, která otáčí systémem proti směru hodinových ručiček, vytváří kladné Mi¯.
Nápadným příkladem problémů tohoto typu jsou problémy s rovnováhou Archimédových pák.
Moment hybnosti
Toto je další důležitá charakteristika kruhového pohybu. Ve fyzice se popisuje jako součin hybnosti a páky. Rovnice hybnosti vypadá takto:
T¯=r¯p¯
Zde p¯ je vektor hybnosti, r¯ je vektor spojující rotující hmotný bod s osou.
Tento výraz ilustruje obrázek níže.
Zde ω je úhlová rychlost, která se dále objeví v momentové rovnici. Všimněte si, že směr vektoru T¯ se nalézá podle stejného pravidla jako M¯. Na obrázku výše se T¯ ve směru shoduje s vektorem úhlové rychlosti ω¯.
Fyzikální význam T¯ je stejný jako charakteristika p¯ v případě lineárního pohybu, tj. moment hybnosti popisuje velikost rotačního pohybu (uložená kinetická energie).
Moment setrvačnosti
Třetí důležitou charakteristikou, bez které není možné formulovat pohybovou rovnici rotujícího objektu, je moment setrvačnosti. Ve fyzice se objevuje jako výsledek matematických transformací vzorce pro moment hybnosti hmotného bodu. Pojďme si ukázat, jak se to dělá.
Představme si hodnotuT¯ takto:
T¯=r¯mv¯, kde p¯=mv¯
Pomocí vztahu mezi úhlovou a lineární rychlostí můžeme tento výraz přepsat následovně:
T¯=r¯mr¯ω¯, kde v¯=r¯ω¯
Zapište poslední výraz takto:
T¯=r2mω¯
Hodnota r2m je moment setrvačnosti I pro hmotný bod m, který vykonává kruhový pohyb kolem osy ve vzdálenosti r od něj. Tento speciální případ nám umožňuje zavést obecnou rovnici momentu setrvačnosti pro těleso libovolného tvaru:
I=∫m (r2dm)
I je aditivní veličina, jejíž význam spočívá v setrvačnosti rotačního systému. Čím větší já, tím obtížnější je roztočení těla a jeho zastavení vyžaduje značné úsilí.
Momentová rovnice
Uvažovali jsme o třech veličinách, jejichž název začíná slovem „moment“. To bylo provedeno záměrně, protože všechny jsou spojeny v jednom výrazu, nazývaném 3-momentová rovnice. Pojďme na to.
Zvažte výraz pro moment hybnosti T¯:
T¯=Iω¯
Zjistěte, jak se hodnota T¯ mění v čase, máme:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Vzhledem k tomu, že derivace úhlové rychlosti je rovna derivaci lineární rychlosti dělené r, a rozšířením hodnoty I dojdeme k výrazu:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, kde a¯=dv¯/dt je lineární zrychlení.
Všimněte si, že součin hmotnosti a zrychlení není nic jiného než působící vnější síla F¯. Výsledkem je:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Došli jsme k zajímavému závěru: změna momentu hybnosti se rovná momentu působící vnější síly. Tento výraz se obvykle píše v mírně odlišné formě:
M¯=Iα¯, kde α¯=dω¯/dt - úhlové zrychlení.
Tato rovnost se nazývá rovnice momentů. Umožňuje vám vypočítat jakoukoli charakteristiku rotujícího tělesa se znalostí parametrů systému a velikosti vnějšího dopadu na něj.
Zákon ochrany T¯
Závěr získaný v předchozím odstavci naznačuje, že pokud je vnější moment sil roven nule, pak se moment hybnosti nezmění. V tomto případě zapíšeme výraz:
T¯=konst. nebo I1ω1¯=I2ω2 ¯
Tento vzorec se nazývá zákon zachování T¯. To znamená, že žádné změny v systému nemění celkový moment hybnosti.
Této skutečnosti využívají krasobruslaři a baletky při svých vystoupeních. Používá se také, pokud je nutné otočit umělou družici pohybující se v prostoru kolem své osy.
