Fourierova řada je reprezentace libovolně vzaté funkce s určitou periodou jako řada. Obecně se toto řešení nazývá rozklad prvku na ortogonální bázi. Expanze funkcí ve Fourierově řadě je díky vlastnostem této transformace při integraci, derivování a také posouvání výrazu v argumentu a konvoluci poměrně silným nástrojem pro řešení různých problémů.
Člověk, který není obeznámen s vyšší matematikou, stejně jako s díly francouzského vědce Fouriera, s největší pravděpodobností nepochopí, co tyto „řádky“jsou a k čemu jsou. Mezitím tato transformace v našich životech docela zhoustla. Používají ho nejen matematici, ale také fyzici, chemici, lékaři, astronomové, seismologové, oceánografové a mnozí další. Pojďme se blíže podívat na díla velkého francouzského vědce, který učinil objev před svou dobou.
Člověk a Fourierova transformace
Fourierovy řady jsou jednou z metod (spolu s analýzou a dalšími) Fourierovy transformace. K tomuto procesu dochází pokaždé, když člověk slyší zvuk. Naše ucho automaticky převádí zvukvlny. Oscilační pohyby elementárních částic v elastickém prostředí jsou rozloženy do řad (podél spektra) po sobě jdoucích hodnot úrovně hlasitosti pro tóny různých výšek. Dále mozek tato data přemění na nám známé zvuky. To vše se děje kromě naší touhy nebo vědomí samo o sobě, ale abychom těmto procesům porozuměli, bude trvat několik let, než budeme studovat vyšší matematiku.
Více o Fourierově transformaci
Fourierova transformace může být provedena analytickými, numerickými a jinými metodami. Fourierovy řady odkazují na číselný způsob rozkladu jakýchkoli oscilačních procesů - od oceánských přílivů a světelných vln až po cykly sluneční (a dalších astronomických objektů) aktivity. Pomocí těchto matematických technik je možné analyzovat funkce reprezentující jakékoli oscilační procesy jako řadu sinusových složek, které jdou od minima k maximu a naopak. Fourierova transformace je funkce, která popisuje fázi a amplitudu sinusoid odpovídajících konkrétní frekvenci. Tento proces lze použít k řešení velmi složitých rovnic, které popisují dynamické procesy, ke kterým dochází pod vlivem tepelné, světelné nebo elektrické energie. Fourierovy řady také umožňují izolovat konstantní složky v komplexních oscilačních signálech, což umožnilo správně interpretovat získaná experimentální pozorování v medicíně, chemii a astronomii.
Historické pozadí
Zakladatel této teorieJean Baptiste Joseph Fourier je francouzský matematik. Tato transformace byla následně pojmenována po něm. Zpočátku vědec aplikoval svou metodu na studium a vysvětlení mechanismů vedení tepla - šíření tepla v pevných látkách. Fourier navrhl, že počáteční nepravidelné rozložení tepelné vlny lze rozložit na nejjednodušší sinusoidy, z nichž každá bude mít své vlastní teplotní minimum a maximum, stejně jako svou vlastní fázi. V tomto případě bude každá taková složka měřena od minima do maxima a naopak. Matematická funkce, která popisuje horní a dolní vrcholy křivky, stejně jako fázi každé z harmonických, se nazývá Fourierova transformace výrazu rozložení teploty. Autor teorie redukoval obecnou distribuční funkci, kterou je obtížné matematicky popsat, na velmi snadno ovladatelnou řadu periodických funkcí kosinus a sinus, které se sčítají k původnímu rozdělení.
Princip transformace a názory současníků
Vědcovi současníci – přední matematici počátku devatenáctého století – tuto teorii nepřijali. Hlavní námitkou bylo Fourierovo tvrzení, že nespojitou funkci popisující přímku nebo nespojitou křivku lze reprezentovat jako součet sinusových výrazů, které jsou spojité. Jako příklad uvažujme Heavisideův "krok": jeho hodnota je nula vlevo od mezery a jedna vpravo. Tato funkce popisuje závislost elektrického proudu na časové proměnné při sepnutí obvodu. Tehdejší současníci teorie se s takovým nikdy nesetkalisituace, kdy by nespojitý výraz byl popsán kombinací spojitých, běžných funkcí, jako je exponenciála, sinusoida, lineární nebo kvadratická.
Co zmátlo francouzské matematiky ve Fourierově teorii?
Koneckonců, pokud měl matematik pravdu ve svých tvrzeních, pak sečtením nekonečných trigonometrických Fourierových řad můžete získat přesnou reprezentaci skokového výrazu, i když má mnoho podobných kroků. Na začátku devatenáctého století se takové tvrzení zdálo absurdní. Ale navzdory všem pochybnostem mnoho matematiků rozšířilo rozsah studia tohoto jevu a vzalo jej za rámec studií tepelné vodivosti. Většina vědců se však nadále trápila otázkou: „Může součet sinusových řad konvergovat k přesné hodnotě nespojité funkce?“
Konvergence Fourierovy řady: příklad
Otázka konvergence je nastolena vždy, když je potřeba sečíst nekonečné řady čísel. Abyste tomuto jevu porozuměli, zvažte klasický příklad. Dokážete někdy dosáhnout na zeď, pokud je každý následující krok poloviční než ten předchozí? Předpokládejme, že jste dva metry od cíle, první krok vás přiblíží k polovině, další ke třičtvrtě a po pátém urazíte téměř 97 procent cesty. Bez ohledu na to, kolik kroků uděláte, nedosáhnete zamýšleného cíle v přísném matematickém smyslu. Pomocí numerických výpočtů lze dokázat, že se nakonec lze dostat tak blízko, jak je libo.malá specifikovaná vzdálenost. Tento důkaz je ekvivalentní prokázání, že součet hodnoty jedné poloviny, jedné čtvrtiny atd. bude mít tendenci k jedné.
Otázka konvergence: Druhý příchod aneb Spotřebič lorda Kelvina
Tato otázka byla opakovaně vznesena na konci devatenáctého století, kdy se Fourierovy řady pokusily použít k předpovědi intenzity odlivu a odlivu. V této době lord Kelvin vynalezl zařízení, což je analogové výpočetní zařízení, které umožnilo námořníkům vojenské a obchodní flotily sledovat tento přírodní jev. Tento mechanismus určoval sady fází a amplitud z tabulky výšek přílivu a odlivu a jim odpovídající časové momenty, pečlivě měřené v daném přístavu během roku. Každý parametr byl sinusovou složkou výrazu výšky přílivu a byl jednou z pravidelných složek. Výsledky měření byly zadány do kalkulačky lorda Kelvina, která syntetizovala křivku, která předpovídala výšku vody jako funkci času na příští rok. Velmi brzy byly podobné křivky nakresleny pro všechny přístavy světa.
A pokud je proces přerušen nespojitou funkcí?
V té době se zdálo zřejmé, že prediktor přílivové vlny s velkým počtem čítacích prvků dokáže vypočítat velký počet fází a amplitud a poskytnout tak přesnější předpovědi. Přesto se ukázalo, že tato pravidelnost není dodržena v případech, kdy slapový výraz, který následujesyntetizovat, obsahoval ostrý skok, tedy byl nespojitý. V případě, že jsou do zařízení zadávána data z tabulky časových okamžiků, pak vypočítává několik Fourierových koeficientů. Původní funkce je obnovena díky sinusovým složkám (podle nalezených koeficientů). Nesoulad mezi původním a obnoveným výrazem lze měřit v libovolném bodě. Při provádění opakovaných výpočtů a porovnávání je vidět, že hodnota největší chyby neklesá. Jsou však lokalizovány v oblasti odpovídající bodu diskontinuity a mají tendenci k nule v jakémkoli jiném bodě. V roce 1899 tento výsledek teoreticky potvrdil Joshua Willard Gibbs z Yale University.
Konvergence Fourierových řad a vývoj matematiky obecně
Fourierova analýza není použitelná pro výrazy obsahující nekonečný počet shluků v určitém intervalu. Obecně platí, že Fourierovy řady, pokud je původní funkce výsledkem skutečného fyzikálního měření, vždy konvergují. Otázky konvergence tohoto procesu pro konkrétní třídy funkcí vedly ke vzniku nových sekcí v matematice, například teorie zobecněných funkcí. Je spojován s takovými jmény jako L. Schwartz, J. Mikušinský a J. Temple. V rámci této teorie byl vytvořen jasný a přesný teoretický základ pro takové výrazy, jako je Diracova delta funkce (popisuje oblast jedné oblasti soustředěnou v nekonečně malém okolí bodu) a Heaviside „ krok . Díky této práci se Fourierova řada stala použitelnouřešení rovnic a problémů, které zahrnují intuitivní koncepty: bodový náboj, hmotnost bodu, magnetické dipóly a také koncentrované zatížení paprsku.
Fourierova metoda
Fourierovy řady v souladu s principy interference začínají rozkladem složitých forem na jednodušší. Například změna tepelného toku se vysvětluje jeho průchodem přes různé překážky z tepelně izolačního materiálu nepravidelného tvaru nebo změna povrchu země - zemětřesení, změna oběžné dráhy nebeského tělesa - vliv planety. Zpravidla se pro každou jednotlivou vlnu elementárně řeší podobné rovnice popisující jednoduché klasické systémy. Fourier ukázal, že jednoduchá řešení lze také shrnout a dát řešení složitějších problémů. V jazyce matematiky je Fourierova řada technika pro reprezentaci výrazu jako součtu harmonických - kosinus a sinusoidy. Proto je tato analýza také známá jako „harmonická analýza“.
Fourierova řada – ideální technika před „věkem počítačů“
Před vytvořením počítačové technologie byla Fourierova technika nejlepší zbraní v arzenálu vědců při práci s vlnovou povahou našeho světa. Fourierova řada v komplexní podobě umožňuje řešit nejen jednoduché problémy, které lze přímo aplikovat na zákony Newtonovy mechaniky, ale i základní rovnice. Většinu objevů newtonovské vědy v devatenáctém století umožnila pouze Fourierova technika.
Série Fourier dnes
S rozvojem počítačů s Fourierovou transformacípovýšen na zcela novou úroveň. Tato technika je pevně zakořeněna téměř ve všech oblastech vědy a techniky. Příkladem je digitální audio a video signál. Jeho realizace byla možná pouze díky teorii vyvinuté francouzským matematikem na začátku devatenáctého století. Fourierova řada tak v komplexní podobě umožnila průlom ve studiu kosmického prostoru. Kromě toho ovlivnila studium fyziky polovodičových materiálů a plazmatu, mikrovlnné akustiky, oceánografie, radaru, seismologie.
Trigonometrické Fourierovy řady
V matematice je Fourierova řada způsob, jak reprezentovat libovolné komplexní funkce jako součet jednodušších. V obecných případech může být počet takových výrazů nekonečný. Navíc, čím více je jejich počet při výpočtu zohledněn, tím přesnější je konečný výsledek. Nejčastěji se jako nejjednodušší používají goniometrické funkce kosinus nebo sinus. V tomto případě se Fourierovy řady nazývají trigonometrické a řešení takových výrazů se nazývá expanze harmonické. Tato metoda hraje důležitou roli v matematice. Za prvé, trigonometrické řady poskytují prostředek pro obraz, stejně jako studium funkcí, je hlavním aparátem teorie. Navíc umožňuje řešit řadu problémů matematické fyziky. Nakonec tato teorie přispěla k rozvoji matematické analýzy, dala vzniknout řadě velmi důležitých úseků matematické vědy (teorie integrálů, teorie periodických funkcí). Kromě toho posloužila jako výchozí bod pro rozvoj následujících teorií: množiny, funkcereálná proměnná, funkční analýza a také položil základy pro harmonickou analýzu.
