Inverzní goniometrické funkce tradičně působí potíže školákům. Schopnost vypočítat arkus tangens čísla může být vyžadována v úlohách USE v planimetrii a stereometrii. Chcete-li úspěšně vyřešit rovnici a problém s parametrem, musíte rozumět vlastnostem funkce arkus tangens.
Definice
Arkustangens čísla x je číslo y, jehož tangens je x. Toto je matematická definice.
Funkce arctangens je zapsána jako y=arctg x.
Obecněji: y=Carctg (kx + a).
Výpočet
Abyste pochopili, jak funguje inverzní goniometrická funkce arkustangens, musíte si nejprve zapamatovat, jak se určuje hodnota tangens čísla. Pojďme se na to podívat blíže.
Tečna x je poměr sinusu x ke kosinu x. Pokud je známa alespoň jedna z těchto dvou veličin, pak modul druhé lze získat ze základní trigonometrické identity:
sin2 x + cos2 x=1.
Samozřejmě, že k odemknutí modulu bude vyžadováno hodnocení.
Pokudje známo samotné číslo, nikoli jeho trigonometrické charakteristiky, pak je ve většině případů nutné přibližně odhadnout tangens čísla podle Bradisovy tabulky.
Výjimkou jsou takzvané standardní hodnoty.
Jsou uvedeny v následující tabulce:
Kromě výše uvedeného lze za standardní považovat jakékoli hodnoty získané z dat přidáním čísla ve tvaru ½πк (к - libovolné celé číslo, π=3, 14).
Přesně totéž platí pro arkus tangens: nejčastěji lze přibližnou hodnotu vidět z tabulky, ale s jistotou je známo jen několik hodnot:
V praxi je při řešení úloh školní matematiky zvykem uvádět odpověď ve formě výrazu obsahujícího arkus tangens, nikoli její přibližný odhad. Například arctg 6, arctg (-¼).
Vykreslení grafu
Vzhledem k tomu, že tečna může nabývat libovolné hodnoty, je definičním oborem funkce arkustangens celá číselná osa. Pojďme si to vysvětlit podrobněji.
Stejná tečna odpovídá nekonečnému počtu argumentů. Například nejen tečna nuly je rovna nule, ale také tangens libovolného čísla ve tvaru π k, kde k je celé číslo. Proto se matematici dohodli na výběru hodnot pro arkus tangens z intervalu od -½ π do ½ π. Musí to být chápáno tímto způsobem. Rozsah funkce arkustangens je interval (-½ π; ½ π). Konce mezery nejsou zahrnuty, protože tečna -½p a ½p neexistují.
V zadaném intervalu je tečna spojitázvyšuje. To znamená, že inverzní funkce arkus tangens také plynule roste na celé číselné ose, ale ohraničená shora a zdola. V důsledku toho má dvě horizontální asymptoty: y=-½ π a y=½ π.
V tomto případě tg 0=0, ostatní průsečíky s osou úsečky, kromě (0;0), graf nemůže mít kvůli nárůstu.
Jak vyplývá z parity funkce tangens, arkustangens má podobnou vlastnost.
Chcete-li sestavit graf, vezměte několik bodů ze standardních hodnot:
Derivace funkce y=arctg x v libovolném bodě se vypočítá podle vzorce:
Všimněte si, že jeho derivát je všude kladný. To je v souladu s dříve učiněným závěrem o neustálém zvyšování funkce.
Druhá derivace arkustangenu mizí v bodě 0, je záporná pro kladné hodnoty argumentu a naopak.
To znamená, že graf funkce arkus tangens má inflexní bod na nule a je směrem dolů konvexní na intervalu (-∞; 0] a nahoru konvexní na intervalu [0; +∞).
