Apotéma pyramidy. Vzorce pro apotému pravidelného trojúhelníkového jehlanu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Pyramida je prostorový mnohostěn neboli mnohostěn, který se vyskytuje v geometrických úlohách. Hlavními vlastnostmi tohoto obrázku jsou jeho objem a povrch, které jsou vypočítány ze znalosti libovolných dvou jeho lineárních charakteristik. Jednou z těchto charakteristik je apotéma pyramidy. O tom bude řeč v článku.

tvar pyramidy

Než uvedeme definici apotému pyramidy, pojďme se seznámit s postavou samotnou. Pyramida je mnohostěn, který je tvořen jednou n-gonální základnou a n trojúhelníky, které tvoří boční plochu obrazce.

Každá pyramida má vrchol – spojovací bod všech trojúhelníků. Kolmice vedená z tohoto vrcholu k základně se nazývá výška. Pokud výška protíná základnu v geometrickém středu, pak se obrazec nazývá přímka. Rovná pyramida s rovnostrannou základnou se nazývá pravidelná pyramida. Obrázek ukazuje pyramidu se šestihrannou základnou, která je při pohledu ze strany čela a hrany.

Apotéma správné pyramidy

Říká se jí také apotema. Rozumí se jím kolmice vedená od vrcholu jehlanu ke straně základny obrazce. Podle definice tato kolmice odpovídá výšce trojúhelníku, který tvoří boční stranu pyramidy.

Vzhledem k tomu, že uvažujeme o pravidelném jehlanu s n-gonální základnou, pak všech n apotém pro něj bude stejných, protože takové jsou rovnoramenné trojúhelníky boční plochy obrazce. Všimněte si, že totožné apotémy jsou vlastností pravidelné pyramidy. U figury obecného typu (šikmého s nepravidelným n-úhelníkem) se bude všech n apotém lišit.

Další vlastností pravidelné pyramidové apotémy je, že je současně výškou, mediánem a osou odpovídajícího trojúhelníku. To znamená, že jej rozdělí na dva stejné pravoúhlé trojúhelníky.

Trojúhelníková pyramida a vzorce pro určení její apotémy

U každé pravidelné pyramidy jsou důležitými lineárními charakteristikami délka strany její základny, boční hrana b, výška h a apotéma h_{b. Tyto veličiny jsou ve vzájemném vztahu pomocí odpovídajících vzorců, které lze získat nakreslením pyramidy a zvážením nezbytných pravoúhlých trojúhelníků.}

Pravidelná trojúhelníková pyramida se skládá ze 4 trojúhelníkových ploch a jedna z nich (základna) musí být rovnostranná. Zbytek je v obecném případě rovnoramenný. apotématrojúhelníkovou pyramidu lze určit z hlediska jiných veličin pomocí následujících vzorců:

h_b=√(b²- a^2/4);

h_b=√(a²/12 + h²⁾

První z těchto výrazů platí pro pyramidu s jakoukoli správnou základnou. Druhý výraz je charakteristický pouze pro trojúhelníkový jehlan. Ukazuje, že apotém je vždy větší než výška postavy.

Nepleťte si apotemu pyramidy s apotemou mnohostěnu. V druhém případě je apotém kolmý segment nakreslený ke straně mnohostěnu z jeho středu. Například apotém rovnostranného trojúhelníku je √3/6a.

Úkol Apothem

Nechť je dána pravidelná pyramida s trojúhelníkem na základně. Je nutné vypočítat jeho apotém, pokud je známo, že plocha tohoto trojúhelníku je 34 cm2 a samotná pyramida se skládá ze 4 stejných ploch.

V souladu s podmínkou problému se zabýváme čtyřstěnem skládajícím se z rovnostranných trojúhelníků. Vzorec pro oblast jednoho obličeje je:

S=√3/4a2

Kde získáme délku strany a:

a=2√(S/√3)

K určení apotému h_{bpoužijeme vzorec obsahující boční hranu b. V uvažovaném případě se jeho délka rovná délce základny, máme:}

h_b=√(b²- a^{2/4)=√3/2 a}

Nahrazení hodnoty a až S,dostaneme konečný vzorec:

h_{b=√3/22√(S/√3)=√(S√3)}

Dostali jsme jednoduchý vzorec, ve kterém apotém pyramidy závisí pouze na ploše její základny. Pokud dosadíme z podmínky úlohy hodnotu S, dostaneme odpověď: h_{b≈ 7, 674 cm.}