Typické lineární parametry jakékoli pyramidy jsou délky stran její základny, výška, boční hrany a apotémy. Nicméně existuje další charakteristika, která je spojena s uvedenými parametry - to je úhel dihedrálního úhlu. Zvažte v článku, co to je a jak to najít.
Pyramida prostorových figurek
Každý student má dobrou představu o tom, co je v sázce, když slyší slovo „pyramida“. Lze jej zkonstruovat geometricky následovně: vyberte určitý mnohoúhelník, pak fixujte bod v prostoru a připojte jej ke každému rohu mnohoúhelníku. Výsledným trojrozměrným obrazcem bude pyramida libovolného typu. Mnohoúhelník, který jej tvoří, se nazývá základna a bod, ke kterému jsou připojeny všechny jeho rohy, je vrcholem obrazce. Obrázek níže schematicky znázorňuje pětibokou pyramidu.
Je vidět, že jeho povrch tvoří nejen pětiúhelník, ale také pět trojúhelníků. Obecně platí, že počet těchto trojúhelníků se bude rovnat počtustrany polygonální základny.
Dihedrální úhly obrázku
Když uvažujeme geometrické problémy v rovině, jakýkoli úhel je tvořen dvěma protínajícími se přímkami nebo segmenty. V prostoru se k těmto lineárním úhlům, které tvoří průsečík dvou rovin, přidávají dihedrální úhly.
Pokud je označená definice úhlu v prostoru aplikována na dotyčný obrazec, pak můžeme říci, že existují dva typy dihedrálních úhlů:
- Na základně pyramidy. Je tvořena rovinou základny a některou z bočních ploch (trojúhelník). To znamená, že základní úhly pyramidy jsou n, kde n je počet stran mnohoúhelníku.
- Mezi stranami (trojúhelníky). Počet těchto dihedrálních úhlů je také n kusů.
Všimněte si, že první typ uvažovaných úhlů je postaven na hranách základny, druhý typ - na bočních hranách.
Jak vypočítat úhly pyramidy?
Lineární úhel dihedrálního úhlu je mírou druhého úhlu. Není snadné to vypočítat, protože strany pyramidy se na rozdíl od stran hranolu v obecném případě neprotínají v pravém úhlu. Nejspolehlivější je vypočítat hodnoty dihedrálních úhlů pomocí rovnic roviny v obecném tvaru.
V trojrozměrném prostoru je rovina dána následujícím výrazem:
Ax + By + Cz + D=0
Kde A, B, C, D jsou nějaká reálná čísla. Výhodou této rovnice je, že první tři označená čísla jsou souřadnicemi vektoru,která je kolmá k dané rovině, tj.:
n¯=[A; B; C]
Jsou-li známy souřadnice tří bodů patřících do roviny, pak vezmeme-li vektorový součin dvou vektorů postavených na těchto bodech, můžeme získat souřadnice n¯. Vektor n¯ se nazývá průvodce pro letadlo.
Podle definice je dihedrální úhel vytvořený průsečíkem dvou rovin roven lineárnímu úhlu mezi jejich směrovými vektory. Předpokládejme, že máme dvě roviny, jejichž normální vektory jsou stejné:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Pro výpočet úhlu φ mezi nimi můžete použít vlastnost skalárního součinu, pak se odpovídající vzorec stane:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Nebo v souřadnicovém tvaru:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Ukažme si, jak použít výše uvedenou metodu pro výpočet dihedrálních úhlů při řešení geometrických problémů.
Úhly pravidelného čtyřbokého jehlanu
Předpokládejme, že existuje pravidelný jehlan, na jehož základně je čtverec o straně 10 cm. Výška postavy je12 cm. Je nutné vypočítat, jaké jsou dihedrální úhly u paty pyramidy a jejích stran.
Vzhledem k tomu, že údaj uvedený v podmínce úlohy je správný, to znamená, že má vysokou symetrii, jsou všechny úhly na základně navzájem stejné. Úhly, které svírají boční plochy, jsou také stejné. Pro výpočet požadovaných dihedrálních úhlů najdeme směrové vektory pro základnu a dvě boční roviny. Označte délku strany základny písmenem a a výšku h.
Obrázek nahoře ukazuje čtyřboký pravidelný jehlan. Vypišme souřadnice bodů A, B, C a D podle zadaného souřadnicového systému:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Nyní najdeme směrové vektory pro základní roviny ABC a dvě strany ABD a BCD v souladu s metodou popsanou v odstavci výše:
Pro ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
Pro ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
Pro BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Nyní zbývá použít vhodný vzorec pro úhel φ a nahradit hodnoty strany a výšky z příkazu problému:
Úhel mezi ABC aABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2) /4)))=67, 38o
Úhel mezi ABD a BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a) 2/4)))=81, 49o
Vypočítali jsme hodnoty úhlů, které bylo potřeba najít podle stavu problému. Vzorce získané při řešení problému lze použít k určení dihedrálních úhlů čtyřbokých pravidelných jehlanů s libovolnými hodnotami a a h.
Úhly trojúhelníkové pravidelné pyramidy
Obrázek níže ukazuje pyramidu, jejíž základna je pravidelný trojúhelník. Je známo, že dihedrální úhel mezi stranami je správný. Je nutné vypočítat plochu základny, pokud je známo, že výška postavy je 15 cm.
Úhel vpředu rovný 90o je na obrázku označen jako ABC. Problém můžete vyřešit pomocí výše uvedené metody, ale v tomto případě to uděláme jednodušší. Označme stranu trojúhelníku a, výšku postavy - h, apotému - hb a stranužebro - b. Nyní můžete napsat následující vzorce:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Vzhledem k tomu, že dva boční trojúhelníky v pyramidě jsou stejné, strany AB a CB jsou stejné a jsou rameny trojúhelníku ABC. Označme jejich délku x, pak:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Vyrovnání ploch postranních trojúhelníků a dosazení apotému do odpovídajícího výrazu máme:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Obsah rovnostranného trojúhelníku se vypočítá následovně:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Dosadíme hodnotu výšky ze stavu problému, dostaneme odpověď: S=584, 567 cm2.
