Matematické problémy se používají v mnoha vědách. Patří mezi ně nejen fyzika, chemie, strojírenství a ekonomie, ale také medicína, ekologie a další obory. Jedním z důležitých konceptů, které je třeba zvládnout, abychom našli řešení důležitých dilemat, je derivace funkce. Jeho fyzikální význam není vůbec tak těžké vysvětlit, jak se nezasvěcenému v podstatě problému může zdát. Stačí k tomu najít vhodné příklady v reálném životě a běžných každodenních situacích. Ve skutečnosti se každý motorista vyrovnává s podobným úkolem každý den, když se dívá na rychloměr a určuje rychlost svého vozu v určitém okamžiku pevně stanoveného času. Ostatně právě v tomto parametru spočívá podstata fyzikálního významu derivátu.
Jak zjistit rychlost
Určit rychlost osoby na silnici se znalostí ujeté vzdálenosti a doby jízdy, kterou může snadno každý žák páté třídy. Za tímto účelem se první z daných hodnot vydělí druhou. Alene každý mladý matematik ví, že právě nachází poměr přírůstků funkce a argumentu. Skutečně, pokud si představíme pohyb ve formě grafu, vykreslujícího cestu podél osy y a čas podél úsečky, bude to přesně takto.
Avšak rychlost chodce nebo jakéhokoli jiného předmětu, který určíme na velké části cesty, vzhledem k tomu, že pohyb považujeme za rovnoměrný, se může změnit. Ve fyzice existuje mnoho forem pohybu. Lze jej provádět nejen s konstantním zrychlováním, ale zpomalovat a zvyšovat libovolným způsobem. Je třeba poznamenat, že v tomto případě čára popisující pohyb již nebude přímka. Graficky dokáže převzít ty nejsložitější konfigurace. Ale pro kterýkoli z bodů v grafu můžeme vždy nakreslit tečnu reprezentovanou lineární funkcí.
Pro upřesnění parametru změny posunutí v závislosti na čase je nutné zkrátit měřené segmenty. Když se stanou nekonečně malými, vypočítaná rychlost bude okamžitá. Tato zkušenost nám pomáhá definovat derivát. Jeho fyzikální význam také logicky vyplývá z takové úvahy.
Z hlediska geometrie
Je známo, že čím větší je rychlost tělesa, tím strmější je graf závislosti posunu na čase a tím i úhlu sklonu tečny ke grafu v určitém bodě. Indikátorem takových změn může být tečna úhlu mezi osou x a tečnou přímkou. Pouze určuje hodnotu derivace a vypočítává se poměrem déleknaproti sousední noze v pravoúhlém trojúhelníku tvořeném kolmicí svrženou z nějakého bodu k ose x.
Toto je geometrický význam první derivace. Ten fyzický se prozrazuje v tom, že hodnota opačné nohy je v našem případě ujetá vzdálenost a sousední je čas. Jejich poměrem je rychlost. A opět docházíme k závěru, že okamžitá rychlost, určená, když obě mezery mají tendenci být nekonečně malé, je podstatou konceptu derivace, což naznačuje její fyzikální význam. Druhou derivací v tomto příkladu bude zrychlení těla, které zase demonstruje rychlost změny rychlosti.
Příklady hledání derivátů ve fyzice
Derivace je indikátorem rychlosti změny jakékoli funkce, i když nehovoříme o pohybu v doslovném smyslu slova. Abychom to názorně demonstrovali, uveďme několik konkrétních příkladů. Předpokládejme, že proudová síla se v závislosti na čase mění podle následujícího zákona: I=0, 4t2. Je potřeba najít hodnotu rychlosti, kterou se tento parametr mění na konci 8. sekundy procesu. Všimněte si, že samotná požadovaná hodnota, jak lze soudit z rovnice, neustále roste.
Abyste to vyřešili, musíte najít první odvozeninu, jejíž fyzikální význam byl zvažován dříve. Zde dl / dt=0,8 t. Dále to zjistíme na t \u003d 8, dostaneme, že rychlost, kterou se mění současná síla, je 6,4 A / c. Tady se to bere v úvahuproud se měří v ampérech a čas v sekundách.
Všechno se mění
Viditelný okolní svět, sestávající z hmoty, neustále prochází změnami a je v pohybu různých procesů, které v něm probíhají. K jejich popisu lze použít různé parametry. Pokud jsou spojeny závislostí, pak jsou matematicky zapsány jako funkce, která jasně ukazuje jejich změny. A tam, kde existuje pohyb (v jakékoli formě je vyjádřen), existuje také odvozenina, jejíž fyzikální význam v tuto chvíli zvažujeme.
Při této příležitosti následující příklad. Předpokládejme, že se tělesná teplota mění podle zákona T=0, 2 t 2. Rychlost jeho ohřevu byste měli najít na konci 10. sekundy. Problém je řešen způsobem podobným tomu, který byl popsán v předchozím případě. To znamená, že najdeme derivaci a dosadíme do ní hodnotu t \u003d 10, dostaneme T \u003d 0, 4 t \u003d 4. To znamená, že konečná odpověď je 4 stupně za sekundu, to znamená proces zahřívání a změna teploty, měřená ve stupních, nastává přesně s takovou rychlostí.
Řešení praktických problémů
Samozřejmě, v reálném životě je všechno mnohem složitější než v teoretických problémech. V praxi se hodnota veličin většinou zjišťuje během experimentu. V tomto případě se používají přístroje, které dávají hodnoty během měření s určitou chybou. Proto se při výpočtech musíme vypořádat s přibližnými hodnotami parametrů a uchýlit se k zaokrouhlování nepohodlných čísel,stejně jako další zjednodušení. Když to vezmeme v úvahu, znovu přistoupíme k problémům o fyzikálním významu derivace, protože jde pouze o jakýsi matematický model nejsložitějších procesů probíhajících v přírodě.
Výbuch sopky
Představme si, že vybuchne sopka. Jak nebezpečný může být? K zodpovězení této otázky je třeba vzít v úvahu mnoho faktorů. Pokusíme se vyhovět jednomu z nich.
Z úst „ohnivého monstra“jsou kameny vrhány svisle nahoru, jejichž počáteční rychlost od okamžiku, kdy opustí ven, je 120 m/s. Je nutné vypočítat, jaké mohou dosáhnout maximální výšky.
Abychom našli požadovanou hodnotu, sestavíme rovnici pro závislost výšky H, měřené v metrech, na jiných hodnotách. Patří mezi ně počáteční rychlost a čas. Hodnota zrychlení se považuje za známou a přibližně rovná 10 m/s2.
Parciální derivát
Teď se podívejme na fyzikální význam derivace funkce z trochu jiného úhlu, protože samotná rovnice může obsahovat ne jednu, ale několik proměnných. Například v předchozí úloze byla závislost výšky kamenů vyvržených z průduchu sopky určena nejen změnou časových charakteristik, ale také hodnotou počáteční rychlosti. Ten byl považován za konstantní, pevnou hodnotu. Ale v jiných úkolech s úplně jinými podmínkami mohlo být všechno jinak. Je-li množství, na které komplexfunkce, několik, výpočty se provádějí podle níže uvedených vzorců.
Fyzikální význam časté derivace by měl být určen jako v obvyklém případě. Toto je rychlost, kterou se funkce mění v určitém konkrétním bodě, když se zvyšuje parametr proměnné. Počítá se tak, že všechny ostatní složky jsou brány jako konstanty, pouze jedna je brána jako proměnná. Pak se vše děje podle obvyklých pravidel.
Nepostradatelný poradce v mnoha otázkách
Porozumění fyzikálnímu významu derivace není těžké uvést příklady řešení složitých a komplexních problémů, ve kterých lze s takovou znalostí najít odpověď. Pokud máme funkci, která popisuje spotřebu paliva v závislosti na rychlosti auta, můžeme vypočítat, při jakých parametrech této druhé bude spotřeba benzínu nejmenší.
V medicíně můžete předvídat, jak bude lidské tělo reagovat na lék předepsaný lékařem. Užívání léku ovlivňuje celou řadu fyziologických parametrů. Patří mezi ně změny krevního tlaku, srdeční frekvence, tělesné teploty a další. Všechny závisí na dávce užívané drogy. Tyto výpočty pomáhají předvídat průběh léčby jak při příznivých projevech, tak při nežádoucích nehodách, které mohou fatálně ovlivnit změny v pacientově těle.
Nepochybně je důležité porozumět fyzikálnímu významu derivátu v technickémproblémy, zejména v elektrotechnice, elektronice, designu a konstrukci.
Brzdná dráha
Uvažujme o dalším problému. Auto, které se pohybovalo konstantní rychlostí, muselo 10 sekund před vjezdem zpomalit, protože si řidič všiml dopravní značky zakazující pohyb rychlostí vyšší než 36 km/h. Porušil řidič pravidla, pokud lze brzdnou dráhu popsat vzorcem S=26t - t2?
Výpočtem první derivace najdeme vzorec pro rychlost, dostaneme v=28 – 2t. Dále do zadaného výrazu dosaďte hodnotu t=10.
Vzhledem k tomu, že tato hodnota byla vyjádřena v sekundách, je rychlost 8 m/s, což znamená 28,8 km/h. To umožňuje pochopit, že řidič začal včas zpomalovat a neporušil pravidla silničního provozu, a tedy i limit uvedený na značce rychlosti.
To dokazuje důležitost fyzikálního významu odvozeniny. Příklad řešení tohoto problému demonstruje šíři využití tohoto pojmu v různých sférách života. Včetně každodenních situací.
Derivát v ekonomii
Až do 19. století se ekonomové většinou pohybovali v průměru, ať už šlo o produktivitu práce nebo cenu výstupu. Ale od určitého okamžiku se limitní hodnoty staly nezbytnějšími pro vytváření účinných předpovědí v této oblasti. Patří mezi ně mezní užitek, příjem nebo náklady. Pochopení toho dalo impuls k vytvoření zcela nového nástroje v ekonomickém výzkumu,který existuje a vyvíjí se více než sto let.
K provedení takových výpočtů, kde převládají pojmy jako minimum a maximum, je prostě nutné pochopit geometrický a fyzikální význam derivace. Mezi tvůrce teoretického základu těchto disciplín lze jmenovat takové významné anglické a rakouské ekonomy jako US Jevons, K. Menger a další. Samozřejmě, že limitní hodnoty v ekonomických výpočtech nejsou vždy vhodné použít. A například čtvrtletní zprávy nemusí nutně zapadat do stávajícího schématu, ale přesto je aplikace takové teorie v mnoha případech užitečná a efektivní.
