Učitelé matematiky seznamují své studenty s pojmem „kombinatorický problém“již v páté třídě. To je nutné k tomu, aby v budoucnu mohli pracovat se složitějšími úkoly. Kombinatorickou povahu problému lze chápat jako možnost jeho řešení výčtem prvků konečné množiny.
Hlavním znakem úkolů tohoto řádu je otázka na ně, která zní jako „Kolik možností?“nebo "Kolik způsobů?" Řešení kombinatorických úloh přímo závisí na tom, zda řešitel pochopil význam, zda dokázal správně znázornit akci nebo proces, který byl v úloze popsán.
Jak vyřešit kombinatorický problém?
Je důležité správně určit typ všech spojení v uvažovaném problému, ale je nutné zkontrolovat, zda se v něm prvky neopakují, zda se prvky samotné nemění, zda hraje velkou roli jejich pořadí a také s ohledem na některé dalšífaktory.
Kombinatorický problém může mít řadu omezení, která lze na připojení uložit. V tomto případě budete muset plně propočítat jeho řešení a zkontrolovat, zda tato omezení mají nějaký vliv na připojení všech prvků. Pokud skutečně existuje vliv, je nutné zkontrolovat jaký.
Kde začít?
Nejprve se musíte naučit, jak řešit nejjednodušší kombinatorické problémy. Zvládnutí jednoduchého materiálu vám umožní naučit se porozumět složitějším úkolům. Doporučuje se, abyste nejprve začali řešit problémy s omezeními, která nejsou brána v úvahu při zvažování jednodušší možnosti.
Doporučujeme se také pokusit nejprve vyřešit ty problémy, u kterých je třeba vzít v úvahu menší počet společných prvků. Budete tak schopni pochopit princip tvorby vzorků a naučíte se, jak si je v budoucnu vytvořit sami. Pokud problém, pro který potřebujete použít kombinatoriku, sestává z kombinace několika jednodušších, doporučuje se řešit jej po částech.
Řešení kombinatorických problémů
Takové problémy se mohou zdát snadno řešitelné, ale zvládnutí kombinatoriky je poměrně obtížné, některé z nich nebyly vyřešeny za poslední stovky let. Jedním z nejznámějších problémů je určit počet magických čtverců zvláštního řádu, když číslo n je větší než 4.
Kombinatorický problém úzce souvisí s teorií pravděpodobnosti, která se objevila ve středověku. Pravděpodobnostpůvod události lze vypočítat pouze pomocí kombinatoriky, v tomto případě bude nutné střídat všechny faktory na místech, aby bylo dosaženo optimálního řešení.
Řešení problémů
Kombinatorické úlohy s řešením slouží k výuce žáků a studentů, jak s tímto materiálem pracovat. Obecně lze říci, že by měly v člověku vzbudit zájem a touhu najít společné řešení. Kromě matematických výpočtů je nutné aplikovat duševní stres a používat hádání.
V procesu řešení zadaných úkolů bude dítě schopno rozvíjet svou matematickou představivost a kombinační schopnosti, což se mu může v budoucnu vážně hodit. Postupně je třeba zvyšovat úroveň složitosti řešených úkolů, abychom nezapomněli na stávající znalosti a přidali k nim nové.
Metoda 1. Bust
Metody řešení kombinatorických úloh se od sebe velmi liší, ale všechny mohou být studentem použity k získání odpovědi. Jednou z nejjednodušších, ale zároveň nejdelších cest je hrubá síla. S ním stačí projít všechna možná řešení bez sestavování jakýchkoli schémat a tabulek.
Otázka v takovém problému zpravidla souvisí s možnými variantami původu události, například: jaká čísla lze vytvořit z čísel 2, 4, 8, 9? Prohledáním všech možností se sestaví odpověď skládající se z možných kombinací. Tato metoda je skvělá, pokud existuje počet možných možnostírelativně malý.
Metoda 2. Strom možností
Některé kombinatorické problémy lze vyřešit pouze vytvořením grafů s podrobnými informacemi o každém prvku. Sestavení stromu možných možností je další způsob, jak najít odpověď. Je vhodný pro řešení nepříliš obtížných problémů, u kterých existuje dodatečná podmínka.
Příklad takového úkolu:
Jaká pětimístná čísla lze vytvořit z čísel 0, 1, 7, 8? Chcete-li to vyřešit, musíte sestavit strom ze všech možných kombinací a je zde další podmínka - číslo nemůže začínat od nuly. Odpověď se tedy bude skládat ze všech čísel, která začínají 1, 7 nebo 8
Metoda 3. Tvorba tabulek
Kombinatorní problémy lze také řešit pomocí tabulek. Jsou podobné stromu možných možností, protože nabízejí vizuální řešení situace. Chcete-li najít správnou odpověď, musíte vytvořit tabulku a ta bude zrcadlena: horizontální a vertikální podmínky budou stejné.
Možné odpovědi budou získány na průsečíku sloupců a řádků. V tomto případě nebudou získány odpovědi na průsečíku sloupce a řádku se stejnými údaji, tyto průsečíky je třeba speciálně označit, aby nedošlo k záměně při sestavování konečné odpovědi. Tuto metodu studenti často nevybírají, mnozí preferují strom s možnostmi.
Metoda 4. Násobení
Existuje další způsob, jak vyřešit kombinatorické problémy - pravidlo násobení. On je v pohoděje vhodný v případě, kdy podle stavu není nutné vypisovat všechna možná řešení, stačí najít jejich maximální počet. Tato metoda je jediná svého druhu, používá se velmi často, když teprve začínáte řešit kombinatorické problémy.
Příklad takového úkolu může vypadat takto:
6 lidí čeká na zkoušku na chodbě. Kolik způsobů můžete použít k jejich uspořádání v obecném seznamu? Abyste dostali odpověď, musíte si ujasnit, kolik z nich může být na prvním místě, kolik na druhém, na třetím atd. Odpověď bude číslo 720
Kombinatorika a její typy
Kombinatorní úloha není jen školní materiál, studují ji i vysokoškoláci. Ve vědě existuje několik typů kombinatoriky a každá z nich má své vlastní poslání. Enumerativní kombinatorika by měla zvážit výčet a výčet možných konfigurací s dalšími podmínkami.
Strukturální kombinatorika je součástí univerzitního programu, studuje teorii matroidů a grafů. Extrémní kombinatorika souvisí i s vysokoškolským materiálem a zde existují individuální omezení. Další částí je Ramseyho teorie, která se zabývá studiem struktur v náhodných variacích prvků. Existuje také lingvistická kombinatorika, která se zabývá otázkou kompatibility určitých prvků mezi sebou.
Metoda výuky kombinatorických úloh
Podle tutoriáluplánů, věk žáků, který je určen pro primární seznámení s tímto materiálem a pro řešení kombinatorických úloh, je ročník 5. Právě tam je toto téma poprvé nabízeno k posouzení studentům, seznamují se s fenoménem kombinatoričnosti a snaží se řešit zadané úkoly. Zároveň je velmi důležité, aby při stanovování kombinatorického problému byla použita metoda, kdy děti samy hledají odpovědi na otázky.
Mimo jiné, po prostudování tohoto tématu bude mnohem snazší zavést pojem faktoriál a využít jej při řešení rovnic, úloh apod. Kombinatoričnost tedy hraje důležitou roli v dalším vzdělávání.
Kombinatorické problémy: proč jsou potřeba?
Pokud víte, co jsou kombinatorické problémy, nebudete mít s jejich řešením žádné potíže. Technika jejich řešení může být užitečná, když potřebujete vytvořit rozvrhy, pracovní rozvrhy a také složité matematické výpočty, které nejsou vhodné pro elektronická zařízení.
Na školách s prohloubeným studiem matematiky a informatiky se navíc studují kombinatorické úlohy, k tomu jsou sestavovány speciální kurzy, učební pomůcky a úkoly. Do Jednotné státní zkoušky z matematiky může být zpravidla zařazeno několik úloh tohoto typu, obvykle jsou „skryty“v části C.
Jak rychle vyřešit kombinatorický problém?
Je velmi důležité umět vidět kombinatorický problémrychle, protože může mít zastřené znění, je to zvláště důležité při absolvování zkoušky, kde se počítá každá minuta. Zapište si samostatně informace, které vidíte v textu problému, na kus papíru a zkuste je analyzovat čtyřmi způsoby, které znáte.
Pokud dokážete vložit informace do tabulky nebo jiné formace, zkuste to vyřešit. Pokud to nemůžete zařadit, v tomto případě je nejlepší to chvíli nechat a přejít k jinému úkolu, abyste neztráceli drahocenný čas. Této situaci lze předejít vyřešením určitého počtu úkolů tohoto typu předem.
Kde najdu příklady?
Jediná věc, která vám pomůže naučit se řešit kombinatorické problémy, jsou příklady. Najdete je ve speciálních matematických sbírkách, které se prodávají v obchodech s naučnou literaturou. Tam však najdete informace pouze pro vysokoškoláky, školáci budou muset úkoly hledat dodatečně, úkoly pro ně zpravidla vymýšlí jiní učitelé.
Vysokoškolští učitelé se domnívají, že studenti se potřebují vzdělávat a neustále jim nabízet další vzdělávací literaturu. Jednou z nejlepších sbírek je "Metody diskrétní analýzy při řešení kombinatorických problémů", napsaná v roce 1977 a opakovaně vydávaná předními nakladatelstvími v zemi. Právě tam můžete najít úkoly, které byly relevantní v té době a zůstávají aktuální i dnes.
Co když potřebujete vytvořit kombinatorický problém?
Nejčastěji je potřeba složit kombinatorické problémyučitelé, kteří jsou povinni učit studenty přemýšlet mimo rámec. Zde bude vše záviset na tvůrčím potenciálu kompilátoru. Doporučuje se věnovat pozornost existujícím sbírkám a pokusit se sestavit problém tak, aby kombinoval několik způsobů řešení najednou a měl odlišná data od knihy.
Učitelé vysokých škol jsou v tomto ohledu mnohem svobodnější než učitelé ve školách, často dávají svým studentům za úkol, aby sami vymýšleli kombinatorické problémy s podrobnými metodami řešení a vysvětleními. Pokud nejste ani jedno, ani druhé, můžete požádat o pomoc ty, kteří dané problematice opravdu rozumí, a také si najmout soukromého lektora. Jedna akademická hodina stačí k vytvoření několika podobných problémů.
Kombinatorika – věda budoucnosti?
Mnoho odborníků v oblasti matematiky a fyziky se domnívá, že právě kombinatorický problém se může stát impulsem pro rozvoj všech technických věd. Stačí zaujmout nestandardní přístup k řešení určitých problémů a pak bude možné odpovědět na otázky, které vědce pronásledují již několik století. Někteří z nich vážně argumentují tím, že kombinatorika je pomocí pro všechny moderní vědy, zejména pro kosmonautiku. Bude mnohem snazší vypočítat dráhy letu lodí pomocí kombinatorických úloh a také vám umožní určit přesnou polohu určitých nebeských těles.
Zavádění nestandardního přístupu již dlouho začalo v asijských zemích, kde dokonce studentinásobení, odčítání, sčítání a dělení se řeší pomocí kombinatorických metod. K překvapení mnoha evropských vědců tato technika skutečně funguje. Školy v Evropě se zatím začaly učit pouze ze zkušeností svých kolegů. Kdy přesně se kombinatorika stane jedním z hlavních odvětví matematiky, je těžké odhadnout. Nyní vědu studují přední světoví vědci, kteří se ji snaží popularizovat.
