Vznik konceptu integrálu byl způsoben potřebou najít primitivní funkci její derivací a také určit množství práce, oblast komplexních obrazců, ujetou vzdálenost, s parametry načrtnuté křivkami popsanými nelineárními vzorci.
Z kurzu
a fyzika ví, že práce se rovná součinu síly a vzdálenosti. Pokud veškerý pohyb probíhá konstantní rychlostí nebo je vzdálenost překonána aplikací stejné síly, pak je vše jasné, stačí je znásobit. Co je integrál konstanty? Toto je lineární funkce ve tvaru y=kx+c.
Síla během práce se ale může měnit, a to v určité přirozené závislosti. Stejná situace nastává při výpočtu ujeté vzdálenosti, pokud rychlost není konstantní.
Takže je jasné, k čemu integrál slouží. Jeho definice jako součet součinů funkčních hodnot nekonečně malým přírůstkem argumentu plně popisuje hlavní význam tohoto pojmu jako plocha obrazce ohraničená shora přímkou funkce a při okraje za hranice definice.
Jean Gaston Darboux, francouzský matematik, ve druhé polovině XIX.století velmi jasně vysvětlil, co je to integrál. Vyjádřil se tak jasně, že obecně by ani pro středoškolského studenta nebylo těžké porozumět této problematice.
Řekněme, že existuje funkce jakékoli komplexní formy. Osa y, na které jsou vyneseny hodnoty argumentu, je rozdělena na malé intervaly, v ideálním případě jsou nekonečně malé, ale protože koncept nekonečna je spíše abstraktní, stačí si představit jen malé segmenty, hodnotu z nichž se obvykle označuje řeckým písmenem Δ (delta).
Ukázalo se, že funkce byla „rozřezána“na malé kostky.
Každá hodnota argumentu odpovídá bodu na ose y, na kterém jsou vyneseny odpovídající hodnoty funkcí. Ale protože vybraná oblast má dvě hranice, budou zde také dvě hodnoty funkce, více a méně.
Součet součinů větších hodnot přírůstkem Δ se nazývá velký Darbouxův součet a označuje se jako S. Podle toho menší hodnoty v omezené oblasti, vynásobené Δ, všechny dohromady tvoří malý Darboux sum s. Samotný řez připomíná pravoúhlý lichoběžník, protože zakřivení přímky funkce s jejím nekonečně malým přírůstkem lze zanedbat. Nejjednodušší způsob, jak najít oblast takového geometrického útvaru, je sečíst součiny větší a menší hodnoty funkce pomocí Δ-přírůstku a vydělit dvěma, to znamená určit to jako aritmetický průměr.
Toto je Darbouxův integrál:
s=Σf(x) Δ je malé množství;
S=Σf(x+Δ)Δ je velká suma.
Co je tedy integrál? Oblast ohraničená funkční čarou a hranicemi definice bude:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
To znamená, že aritmetický průměr velkých a malých Darbouxových součtů.c je konstantní hodnota, která je během diferenciace nastavena na nulu.
Na základě geometrického vyjádření tohoto pojmu je fyzikální význam integrálu jasný. Plocha obrázku vyznačená funkcí rychlosti a omezená časovým intervalem podél osy úsečky bude délkou ujeté dráhy.
L=∫f(x)dx na intervalu od t1 do t2, Kde
f(x) – funkce rychlosti, tedy vzorec, podle kterého se mění v čase;
L – délka cesty;
t1 – čas zahájení;
t2 – čas konce cesty.
Přesně podle stejného principu se určuje množství práce, na úsečce bude vynesena pouze vzdálenost a na ose pořadnice bude vynesena velikost síly působící v každém konkrétním bodě.
