Kvadrické rovnice se často objevují v řadě úloh v matematice a fyzice, takže by je měl umět vyřešit každý student. Tento článek podrobně popisuje hlavní metody řešení kvadratických rovnic a také uvádí příklady jejich použití.
Jaká rovnice se nazývá kvadratická
Nejprve odpovíme na otázku tohoto odstavce, abychom lépe porozuměli tomu, o čem článek bude. Kvadratická rovnice má tedy následující obecný tvar: c + bx+ax2=0, kde a, b, c jsou nějaká čísla, která se nazývají koeficienty. Zde je a≠0 povinná podmínka, jinak se uvedená rovnice zvrhne v lineární. Zbývající koeficienty (b, c) mohou nabývat absolutně libovolných hodnot, včetně nuly. Tedy výrazy jako ax2=0, kde b=0 a c=0, nebo c+ax2=0, kde b=0, nebo bx+ax2=0, kde c=0 jsou také kvadratické rovnice, které se nazývají neúplné, protože buď lineární koeficient b je v nich nula nebo nulaje volný termín c, nebo oba zmizí.
Rovnice, ve které se a=1 nazývá redukovaná, to znamená, že má tvar: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Řešením kvadratické rovnice je najít takové hodnoty x, které splňují její rovnost. Tyto hodnoty se nazývají kořeny. Vzhledem k tomu, že uvažovaná rovnice je výrazem druhého stupně, znamená to, že maximální počet jejích kořenů nemůže překročit dva.
Jaké metody řešení čtvercových rovnic existují
Obecně existují 4 způsoby řešení. Jejich jména jsou uvedena níže:
- Factoring.
- Přidání do čtverce.
- Použití známého vzorce (přes diskriminant).
- Metoda řešení je geometrická.
Jak můžete vidět z výše uvedeného seznamu, první tři metody jsou algebraické, takže se používají častěji než poslední, která zahrnuje vykreslení funkce.
Existuje další způsob, jak řešit čtvercové rovnice pomocí Vietovy věty. Mohla by být zahrnuta jako 5. ve výše uvedeném seznamu, ale to není provedeno, protože Vietův teorém je jednoduchým důsledkem 3. metody.
Později v článku se budeme podrobněji zabývat jmenovanými metodami řešení a také uvedeme příklady jejich použití k nalezení kořenů konkrétních rovnic.
Metoda 1. Faktoring
Pro tuto metodu v matematice kvadratických rovnic existuje krásnánázev: faktorizace. Podstata této metody je následující: je nutné prezentovat kvadratickou rovnici jako součin dvou členů (výrazů), které se musí rovnat nule. Po takové reprezentaci můžete použít vlastnost produktu, která se bude rovnat nule pouze tehdy, když jeden nebo více (všech) jejích členů bude nula.
Nyní zvažte posloupnost konkrétních akcí, které je třeba provést, abyste našli kořeny rovnice:
- Přesuňte všechny členy do jedné části výrazu (například doleva), aby v jeho druhé části (vpravo) zůstala pouze 0.
- Představte součet členů v jedné části rovnice jako součin dvou lineárních rovnic.
- Nastavte každý z lineárních výrazů na nulu a vyřešte je.
Jak vidíte, faktorizační algoritmus je poměrně jednoduchý, nicméně většina studentů má při implementaci 2. bodu potíže, proto jej vysvětlíme podrobněji.
Abyste mohli uhodnout, které 2 lineární výrazy, když je vynásobíte navzájem, dají požadovanou kvadratickou rovnici, musíte si zapamatovat dvě jednoduchá pravidla:
- Lineární koeficienty dvou lineárních výrazů by po vzájemném vynásobení měly dát první koeficient kvadratické rovnice, tedy číslo a.
- Volné členy lineárních výrazů by po vynásobení měly dát číslo c požadované rovnice.
Po výběru všech čísel faktorů je třeba je vynásobit, a pokud dají požadovanou rovnici, přejděte ke kroku 3 vvýše uvedený algoritmus, jinak byste měli změnit násobiče, ale musíte to udělat tak, aby byla vždy dodržena výše uvedená pravidla.
Příklad řešení metodou faktorizace
Ukažme si názorně, jak je algoritmus pro řešení kvadratické rovnice skládat a hledat neznámé kořeny. Nechť je dán libovolný výraz, například 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Přejděme k jeho řešení, sledujme sled bodů od 1 do 3, které jsou uvedeny v předchozím odstavci článku.
Položka 1. Přesuňte všechny členy na levou stranu a uspořádejte je v klasickém pořadí pro kvadratickou rovnici. Máme následující rovnost: 2x+(-8)+x2=0.
Položka 2. Rozdělíme ji na součin lineárních rovnic. Protože a=1, a c=-8, pak vybereme například takový součin (x-2)(x+4). Splňuje pravidla pro hledání očekávaných faktorů uvedená v odstavci výše. Pokud otevřeme závorky, dostaneme: -8+2x+x2, to znamená, že dostaneme přesně stejný výraz jako na levé straně rovnice. To znamená, že jsme správně uhodli násobiče a můžeme přistoupit ke 3. kroku algoritmu.
Položka 3. Přirovnejte každý faktor k nule, dostaneme: x=-4 a x=2.
Pokud existují pochybnosti o výsledku, doporučuje se provést kontrolu dosazením nalezených kořenů do původní rovnice. V tomto případě máme: 22+22-8=0 a 2(-4)+(-4)2 -8=0. Kořeny byly nalezeny správně.
Pomocí faktorizační metody jsme tedy zjistili, že daná rovnice má dva různé kořenymá: 2 a -4.
Metoda 2. Doplňte celý čtverec
V algebře čtvercových rovnic nelze metodu multiplikátoru vždy použít, protože v případě zlomkových hodnot koeficientů kvadratické rovnice vznikají potíže při implementaci odstavce 2 algoritmu.
Metoda plného čtverce je zase univerzální a lze ji aplikovat na kvadratické rovnice jakéhokoli typu. Jeho podstatou je provádět následující operace:
- Členy rovnice obsahující koeficienty aab musí být přeneseny do jedné části rovnice a volný člen c do druhé.
- Dále by se části rovnosti (pravá a levá) měly vydělit koeficientem a, to znamená, že rovnici uveďte ve zmenšeném tvaru (a=1).
- Sečtěte členy s koeficienty aab a reprezentujte je jako druhou mocninu lineární rovnice. Protože a \u003d 1, pak se lineární koeficient bude rovnat 1, jako pro volný člen lineární rovnice, pak by se měl rovnat polovině lineárního koeficientu redukované kvadratické rovnice. Po sestavení druhé mocniny lineárního výrazu je nutné na pravou stranu rovnosti, kde se nachází volný člen, přidat odpovídající číslo, které získáme rozšířením čtverce.
- Vezměte druhou odmocninu se znaménky „+“a „-“a vyřešte již získanou lineární rovnici.
Popsaný algoritmus může být na první pohled vnímán jako značně komplikovaný, v praxi je však snáze implementovatelný než metoda faktorizace.
Příklad řešení s použitím plného čtvercového doplňku
Uveďme příklad kvadratické rovnice pro trénování jejího řešení metodou popsanou v předchozím odstavci. Nechť je dána kvadratická rovnice -10 - 6x+5x2=0. Začneme ji řešit podle výše popsaného algoritmu.
Položka 1. Při řešení čtvercových rovnic použijeme přenosovou metodu, dostaneme: - 6x+5x2=10.
Bod 2. Redukovaný tvar této rovnice získáme vydělením číslem 5 každého z jejích členů (pokud se obě části vydělí nebo vynásobí stejným číslem, pak rovnost zůstane zachována). V důsledku transformací dostaneme: x2 - 6/5x=2.
Položka 3. Polovina koeficientu - 6/5 je -6/10=-3/5, použijte toto číslo k doplnění čtverce, dostaneme: (-3/5+x) 2 . Rozbalíme ji a výsledný volný člen by měl být odečten od levé strany rovnosti, abychom splnili původní tvar kvadratické rovnice, což je ekvivalentní přičtení k pravé straně. Výsledkem je: (-3/5+x)2=59/25.
Položka 4. Vypočítejte druhou odmocninu s kladnými a zápornými znaménky a najděte odmocniny: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Dva nalezené kořeny mají následující hodnoty: x1=(√59+3)/5 a x1=(3-√59)/5.
Vzhledem k tomu, že se provedené výpočty týkají odmocnin, existuje vysoká pravděpodobnost, že uděláte chybu. Proto se doporučuje zkontrolovat správnost kořenů x2 a x1. Dostaneme za x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Vystřídejte nyníx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Ukázali jsme tedy, že nalezené kořeny rovnice jsou pravdivé.
Metoda 3. Aplikace známého vzorce
Tato metoda řešení kvadratických rovnic je možná nejjednodušší, protože spočívá v dosazení koeficientů do známého vzorce. Chcete-li jej použít, nemusíte přemýšlet o sestavování algoritmů řešení, stačí si zapamatovat pouze jeden vzorec. Je to zobrazeno na obrázku výše.
V tomto vzorci se radikální výraz (b2-4ac) nazývá diskriminant (D). Od jeho hodnoty závisí na tom, jaké kořeny se získají. Existují 3 případy:
- D>0, pak základní dvě rovnice mají reálné a různé rovnice.
- D=0, pak dostaneme kořen, který lze vypočítat z výrazu x=-b/(a2).
- D<0, pak dostanete dva různé imaginární kořeny, které jsou reprezentovány jako komplexní čísla. Například číslo 3-5i je komplexní, zatímco imaginární jednotka i splňuje vlastnost: i2=-1.
Příklad řešení výpočtem diskriminantu
Uveďme příklad kvadratické rovnice k procvičení pomocí výše uvedeného vzorce. Najděte kořeny pro -3x2-6+3x+4x=0. Nejprve vypočítejte hodnotu diskriminantu, dostaneme: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Jelikož se získá D<0, znamená to, že kořeny uvažované rovnice jsou komplexní čísla. Najdeme je dosazením nalezené hodnoty D do vzorce uvedeného v předchozím odstavci (je znázorněn i na fotografii výše). Dostaneme: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metoda 4. Použití funkce Graph
Nazývá se také grafická metoda řešení čtvercových rovnic. Je třeba říci, že se zpravidla nepoužívá pro kvantitativní, ale pro kvalitativní analýzu uvažované rovnice.
Podstatou metody je vykreslit kvadratickou funkci y=f(x), což je parabola. Poté je nutné určit, ve kterých bodech parabola protíná osu x (X), budou kořeny příslušné rovnice.
Abyste věděli, zda parabola bude protínat osu X, stačí znát polohu jejího minima (maxima) a směr jejích větví (mohou se zvětšovat nebo zmenšovat). Je třeba si zapamatovat dvě vlastnosti této křivky:
- Pokud a>0 - paraboly větve směřují nahoru, naopak pokud a<0, pak jdou dolů.
- Minimální (maximální) souřadnice paraboly je vždy x=-b/(2a).
Musíte například určit, zda má rovnice -4x+5x2+10=0 kořeny. Odpovídající parabola bude směřovat nahoru, protože=5>0. Jeho extrém má souřadnice: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Od minimum křivky leží nad osou x (y=9, 2), pak ji neprotíná pro žádnýx hodnot. To znamená, že daná rovnice nemá žádné skutečné kořeny.
Vietův teorém
Jak bylo uvedeno výše, tato věta je důsledkem metody č. 3, která je založena na aplikaci vzorce s diskriminantem. Podstatou Vieta teorému je, že umožňuje spojit koeficienty rovnice a jejích kořenů do rovnosti. Pojďme získat odpovídající rovnosti.
Použijme vzorec pro výpočet odmocnin přes diskriminant. Sečtením dvou kořenů dostaneme: x1+x2=-b/a. Nyní vynásobme odmocniny mezi sebou: x1x2, po řadě zjednodušení dostaneme číslo c/a.
Pro řešení kvadratických rovnic podle Vietovy věty tedy můžete použít získané dvě rovnosti. Pokud jsou známy všechny tři koeficienty rovnice, pak lze kořeny najít řešením příslušné soustavy těchto dvou rovnic.
Příklad použití Vietovy věty
Musíte napsat kvadratickou rovnici, pokud víte, že má tvar x2+c=-bx a její kořeny jsou 3 a -4.
Vzhledem k tomu, že a=1 v uvažované rovnici, budou vzorce Vieta vypadat takto: x2+x1=-b a x2x1=str. Dosazením známých hodnot kořenů dostaneme: b=1 a c=-12. V důsledku toho bude obnovená kvadratická redukovaná rovnice vypadat takto: x2-12=-1x. Můžete do ní dosadit hodnotu odmocnin a ujistit se, že platí rovnost.
Obrácená aplikace Vieta teorému, tj. výpočet kořenů pomocíznámá forma rovnice, umožňuje malým celým číslům a, b a c rychle (intuitivně) najít řešení.
