V tomto článku je metoda považována za způsob řešení systémů lineárních rovnic (SLAE). Metoda je analytická, to znamená, že vám umožňuje napsat obecný algoritmus řešení a poté tam nahradit hodnoty z konkrétních příkladů. Na rozdíl od maticové metody nebo Cramerových vzorců lze při řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussovy metody pracovat i s těmi, které mají nekonečně mnoho řešení. Nebo ho vůbec nemám.
Co to znamená řešit Gaussovou metodou?
Nejprve musíme zapsat náš systém rovnic jako matici. Vypadá to takto. Systém je obsazen:
Koeficienty se zapisují ve formě tabulky a vpravo v samostatném sloupci - volné členy. Sloup s volnými členy je pro pohodlí oddělen svislou příčkou. Matice, která obsahuje tento sloupec, se nazývá rozšířená.
Poté musí být hlavní matice s koeficienty zmenšena na horní trojúhelníkový tvar. To je hlavní bod řešení soustavy Gaussovou metodou. Jednoduše řečeno, po určitých manipulacích by matice měla vypadat takto, aby v její levé dolní části byly pouze nuly:
Pokud pak novou matici napíšete znovu jako soustavu rovnic, všimnete si, že poslední řádek již obsahuje hodnotu jednoho z kořenů, která je následně dosazena do výše uvedené rovnice, je nalezen další kořen, a tak dále.
Toto je popis Gaussova řešení v nejobecnějších termínech. A co se stane, když najednou systém nemá řešení? Nebo je jich nekonečně mnoho? Pro zodpovězení těchto a mnoha dalších otázek je nutné samostatně zvážit všechny prvky použité při řešení Gaussovou metodou.
Matice, jejich vlastnosti
V matici není žádný skrytý význam. Je to jen pohodlný způsob záznamu dat pro pozdější operace. Ani školáci by se jich neměli bát.
Matrice je vždy obdélníková, protože je to pohodlnější. I v Gaussově metodě, kde se vše scvrkává na sestavení trojúhelníkové matice, se v zadání objeví obdélník, pouze s nulami v místě, kde žádná čísla nejsou. Nuly lze vynechat, ale jsou předpokládané.
Matrix má velikost. Jeho "šířka" je počet řádků (m), jeho "délka" je počet sloupců (n). Pak velikost matice A (pro jejich označení se obvykle používají velká latinská písmena) označíme jako Am×n. Pokud m=n, pak je tato matice čtvercová am=n - jeho pořadí. Podle toho lze libovolný prvek matice A označit číslem jeho řádku a sloupce: axy; x - číslo řádku, změna [1, m], y - číslo sloupce, změna [1, n].
V Gaussově metodě nejsou matice hlavním bodem řešení. V zásadě lze všechny operace provádět přímo s rovnicemi samotnými, zápis však bude mnohem těžkopádnější a bude se v něm mnohem snáze zmást.
Kvalifikace
Matice má také determinant. To je velmi důležitá vlastnost. Zjišťovat jeho význam teď nemá cenu, můžete jednoduše ukázat, jak se počítá, a pak říct, jaké vlastnosti matice určuje. Nejjednodušší způsob, jak najít determinant, je přes diagonály. V matici jsou zakresleny imaginární úhlopříčky; prvky umístěné na každém z nich se vynásobí a poté se sečtou výsledné produkty: úhlopříčky se sklonem doprava - se znaménkem "plus", se sklonem doleva - se znaménkem "mínus".
Je nesmírně důležité poznamenat, že determinant lze vypočítat pouze pro čtvercovou matici. U obdélníkové matice můžete provést následující: zvolit nejmenší z počtu řádků a počtu sloupců (ať je to k) a poté náhodně označit k sloupců a k řádků v matici. Prvky umístěné na průsečíku vybraných sloupců a řádků vytvoří novou čtvercovou matici. Pokud je determinantem takové matice číslo jiné než nula, bude se nazývat základní moll původní obdélníkové matice.
Předtímjak začít řešit soustavu rovnic Gaussovou metodou, neuškodí vypočítat determinant. Pokud se ukáže, že je nula, pak můžeme okamžitě říci, že matice má buď nekonečný počet řešení, nebo neexistují vůbec žádná. V takovém smutném případě musíte jít dále a zjistit hodnost matice.
Klasifikace systémů
Existuje něco jako hodnost matice. Toto je maximální řád jeho nenulového determinantu (při zapamatování menšího základu můžeme říci, že hodnost matice je řádem menšího základu).
Jak to chodí s hodností, lze SLOW rozdělit na:
- Joint. U společných systémů se hodnost hlavní matice (skládající se pouze z koeficientů) shoduje s hodností rozšířené matice (se sloupcem volných členů). Takové systémy mají řešení, ale ne nutně jedno, proto se kloubové systémy navíc dělí na:
- - definitivní – s jedinečným řešením. V určitých systémech jsou pořadí matice a počet neznámých stejné (nebo počet sloupců, což je totéž);
- - neurčitý - s nekonečným počtem řešení. Hodnost matic v takových systémech je menší než počet neznámých.
- Nekompatibilní. U takových systémů se úrovně hlavní a rozšířené matice neshodují. Nekompatibilní systémy nemají řešení.
Gaussova metoda je dobrá, protože umožňuje získat buď jednoznačný důkaz nekonzistence systému (bez počítání determinantů velkých matic), nebo obecné řešení pro systém s nekonečným počtem řešení.
Elementární transformace
Předtímjak postupovat přímo k řešení systému, můžete to udělat méně těžkopádným a pohodlnějším pro výpočty. Toho je dosaženo pomocí elementárních transformací - tak, že jejich implementace nijak nezmění konečnou odpověď. Je třeba poznamenat, že některé z výše uvedených elementárních transformací jsou platné pouze pro matice, jejichž zdrojem byl právě SLAE. Zde je seznam těchto transformací:
- Změňte řetězce. Je zřejmé, že pokud změníme pořadí rovnic v systémovém záznamu, pak to nijak neovlivní řešení. Proto je také možné prohodit řádky v matici tohoto systému, samozřejmě nezapomenout na sloupec volných členů.
- Vynásobení všech prvků řetězce nějakým faktorem. Velmi užitečné! S ním můžete zmenšit velká čísla v matici nebo odstranit nuly. Sada řešení se jako obvykle nezmění a bude pohodlnější provádět další operace. Hlavní věc je, že koeficient by se neměl rovnat nule.
- Smazat řádky s proporcionálními koeficienty. To částečně vyplývá z předchozího odstavce. Pokud mají dva nebo více řádků v matici proporcionální koeficienty, pak při násobení / dělení jednoho z řádků koeficientem proporcionality se získají dva (nebo opět více) absolutně identické řádky a můžete odstranit ty nadbytečné a ponechat pouze jedna.
- Smažte nulový řádek. Pokud se v průběhu transformací někde získá řetězec, ve kterém jsou všechny prvky včetně volného členu nulové, pak lze takový řetězec nazvat nulou a vyhodit z matice.
- Přidávání k prvkům jednoho řádku prvků druhého (podleodpovídající sloupce) vynásobené nějakým koeficientem. Nejobskurnější a nejdůležitější transformace ze všech. Stojí za to se tomu věnovat podrobněji.
Přidání řetězce vynásobeného faktorem
Pro snazší pochopení se vyplatí tento proces rozebrat krok za krokem. Z matice jsou převzaty dva řádky:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Řekněme, že potřebujete přidat první vynásobený koeficientem "-2" k druhému.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Potom se druhý řádek v matici nahradí novým, zatímco první zůstane nezměněn.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Je třeba poznamenat, že násobící faktor lze zvolit tak, že v důsledku přidání dvou řetězců bude jeden z prvků nového řetězce roven nule. Proto je možné v soustavě získat rovnici, kde bude o jednu neznámou méně. A pokud dostanete dvě takové rovnice, pak lze operaci provést znovu a získat rovnici, která již bude obsahovat o dvě neznámé méně. A pokud pokaždé otočíme na nulu o jeden koeficient pro všechny řádky, které jsou nižší než původní, pak můžeme jako po krocích sejít až na úplný konec matice a dostat rovnici s jednou neznámou. Tomu se říkávyřešit systém pomocí Gaussovy metody.
Obecně
Buď systém. Má m rovnic a n neznámých kořenů. Můžete to napsat takto:
Hlavní matice je sestavena z koeficientů systému. Do rozšířené matice je přidán sloupec volných členů a pro usnadnění oddělený pruhem.
Další:
- první řádek matice je vynásoben koeficientem k=(-a21/a11);
- první upravený řádek a druhý řádek matice jsou přidány;
- místo druhého řádku se do matice vloží výsledek sčítání z předchozího odstavce;
- nyní první koeficient na novém druhém řádku je a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Nyní je provedena stejná série transformací, jedná se pouze o první a třetí řádek. V souladu s tím je v každém kroku algoritmu prvek a21 nahrazen a31. Poté se vše opakuje pro a41, … am1. Výsledkem je matice, kde první prvek v řádcích [2, m] je roven nule. Nyní musíte zapomenout na řádek číslo jedna a provést stejný algoritmus počínaje druhým řádkem:
- k koeficient=(-a32/a22);
- druhý upravený řádek je přidán k „aktuálnímu“řádku;
- výsledek sčítání se dosadí do třetího, čtvrtého atd. řádků, zatímco první a druhý zůstanou nezměněny;
- v řádcích [3, m] matice jsou první dva prvky již rovny nule.
Algoritmus je nutné opakovat, dokud se neobjeví koeficient k=(-am, m-1/amm). To znamená, že algoritmus byl naposledy spuštěn pouze pro nižší rovnici. Nyní matice vypadá jako trojúhelník nebo má stupňovitý tvar. Spodní řádek obsahuje rovnici amn × x =bm. Koeficient a volný člen jsou známy a jejich odmocnina je vyjádřena: x =bm/amn. Výsledný kořen se dosadí do horního řádku a zjistí se xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. A tak dále analogicky: v každém dalším řádku je nový kořen a po dosažení „vrcholu“systému lze najít sadu řešení [x1, … x ]. Bude to jediné.
Když neexistují žádná řešení
Pokud jsou v jednom z řádků matice všechny prvky kromě volného členu rovny nule, pak rovnice odpovídající tomuto řádku vypadá jako 0=b. Nemá to řešení. A protože taková rovnice je v systému zahrnuta, pak je množina řešení celého systému prázdná, to znamená, že je zdegenerovaná.
Když existuje nekonečné množství řešení
Může se ukázat, že v redukované trojúhelníkové matici nejsou žádné řádky s jedním prvkem – koeficientem rovnice, a jedním – volným členem. Existují pouze řetězce, které by po přepsání vypadaly jako rovnice se dvěma nebo více proměnnými. To znamená, že systém má nekonečné množství řešení. V tomto případě lze odpověď podat formou obecného řešení. Jak na to?
Všeproměnné se v matici dělí na základní a volné. Základní - to jsou ty, které stojí "na okraji" řádků ve stupňovité matici. Zbytek je zdarma. V obecném řešení jsou základní proměnné zapsány jako volné.
Pro usnadnění je matice nejprve přepsána zpět do systému rovnic. Pak v posledním z nich, kde zůstala právě jen jedna základní proměnná, zůstane na jedné straně a vše ostatní se přenese na druhou. To se provádí pro každou rovnici s jednou základní proměnnou. Potom se ve zbytku rovnic, kde je to možné, místo základní proměnné dosadí výraz pro ni získaný. Pokud je výsledkem opět výraz obsahující pouze jednu základní proměnnou, je vyjádřena odtud znovu a tak dále, dokud není každá základní proměnná zapsána jako výraz s volnými proměnnými. Toto je obecné řešení SLAE.
Můžete také najít základní řešení systému - dejte volným proměnným libovolné hodnoty a poté spočítejte hodnoty základních proměnných pro tento konkrétní případ. Existuje nekonečně mnoho konkrétních řešení.
Řešení s konkrétními příklady
Zde je systém rovnic.
Pro pohodlí je lepší vytvořit jeho matrici hned
Je známo, že při řešení Gaussovou metodou zůstane rovnice odpovídající prvnímu řádku na konci transformací nezměněna. Proto bude výhodnější, pokud bude levý horní prvek matice nejmenší - pak první prvkyzbytek řádků po operacích se změní na nulu. To znamená, že v kompilované matici bude výhodné umístit druhý řádek na místo prvního.
Dále musíte změnit druhý a třetí řádek tak, aby se první prvky staly nulou. Chcete-li to provést, přidejte je k prvnímu a vynásobte koeficientem:
druhý řádek: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
třetí řádek: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Abyste se nepletli, musíte napsat matici s mezivýsledky transformací.
Je zřejmé, že taková matice může být čitelnější pomocí některých operací. Můžete například odstranit všechny "mínusy" z druhého řádku vynásobením každého prvku "-1".
Za zmínku také stojí, že ve třetím řádku jsou všechny prvky násobky tří. Potom můžešořízněte řetězec tímto číslem a vynásobte každý prvek "-1/3" (mínus - současně pro odstranění záporných hodnot).
Vypadá mnohem lépe. Nyní musíme nechat první řádek a pracovat s druhým a třetím. Úkolem je přidat druhý řádek ke třetímu řádku, vynásobený takovým faktorem, aby se prvek a32 stal nulou.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (pokud během některých transformací v odpovědi se ukázalo, že nejde o celé číslo, doporučuje se ponechat ji „tak, jak je“, ve formě obyčejného zlomku, a teprve poté, když obdrží odpovědi, rozhodnout, zda zaokrouhlit a převést na jinou formu notace)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Matice je zapsána znovu s novými hodnotami.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Jak vidíte, výsledná matice již má stupňovitý tvar. Další transformace systému Gaussovou metodou tedy nejsou nutné. Co lze zde udělat, je odstranit celkový koeficient "-1/7" ze třetího řádku.
Teď všichnipěkný. Pointa je malá - napište matici znovu ve formě soustavy rovnic a vypočítejte kořeny
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Algoritmus, kterým budou nyní nalezeny kořeny, se v Gaussově metodě nazývá zpětný pohyb. Rovnice (3) obsahuje hodnotu z:
z=61/9
Dále se vraťte k druhé rovnici:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
A první rovnice vám umožní najít x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Máme právo nazývat takový systém spojem, a to dokonce definitivním, to znamená, že má jedinečné řešení. Odpověď je napsána v následujícím tvaru:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Příklad neurčitého systému
Varianta řešení určitého systému Gaussovou metodou byla rozebrána, nyní je třeba uvažovat případ, kdy je systém neurčitý, tedy lze pro něj najít nekonečně mnoho řešení.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 – x5=12 (4)
Už samotná podoba systému je alarmující, protože počet neznámých je n=5 a hodnost matice systému je již přesně menší než toto číslo, protože počet řádků je m=4, to znamená, že největší řád čtvercového determinantu je 4. Řešení je nekonečné množství a my musíme hledat jeho obecnou podobu. Gaussova metoda pro lineární rovnice vám to umožňuje.
Nejprve se jako obvykle zkompiluje rozšířená matice.
Druhý řádek: koeficient k=(-a21/a11)=-3. Ve třetím řádku je první prvek před transformacemi, takže se nemusíte ničeho dotýkat, musíte to nechat tak, jak je. Čtvrtý řádek: k=(-a41/a11)=-5
Vynásobením prvků prvního řádku postupně každým z jejich koeficientů a jejich přidáním do požadovaných řádků získáme matici následujícího tvaru:
Jak vidíte, druhý, třetí a čtvrtý řádek se skládají ze vzájemně proporcionálních prvků. Druhý a čtvrtý jsou obecně stejné, takže jeden z nich lze okamžitě odstranit a zbytek vynásobit koeficientem "-1" a získat řádek číslo 3. A opět ponechte jeden ze dvou stejných řádků.
Výsledkem je taková matice. Systém ještě není sepsán, je zde nutné určit základní proměnné - stojící u koeficientů a11=1 a a22=1 a zdarma - vše ostatní.
Ve druhé rovnici je pouze jedna základní proměnná - x2. Odtud jej lze vyjádřit zápisem pomocí proměnných x3, x4, x5, které jsou zdarma.
Dosaďte výsledný výraz do první rovnice.
Ukázala se rovnice, ve kteréjediná základní proměnná je x1. Udělejme s tím totéž jako s x2.
Všechny základní proměnné, z nichž jsou dvě, jsou vyjádřeny třemi volnými, nyní můžete napsat odpověď v obecném tvaru.
Můžete také určit jedno z konkrétních řešení systému. Pro takové případy se jako hodnoty pro volné proměnné zpravidla volí nuly. Pak bude odpověď:
-16, 23, 0, 0, 0.
Příklad nekonzistentního systému
Nejrychlejší je řešení nekonzistentních soustav rovnic Gaussovou metodou. Končí, jakmile se v jedné z fází získá rovnice, která nemá řešení. To znamená, že fáze s výpočtem kořenů, která je poměrně dlouhá a bezútěšná, zmizí. Uvažuje se o následujícím systému:
x + y – z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Jako obvykle je matice sestavena:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
A zredukováno na stupňovitou formu:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Po první transformaci obsahuje třetí řádek rovnici ve tvaru
0=7, žádné řešení. Proto systémje nekonzistentní a odpovědí je prázdná množina.
Výhody a nevýhody metody
Pokud se rozhodnete, jakou metodu vyřešit SLAE na papíře perem, pak metoda, která byla zvažována v tomto článku, vypadá nejatraktivněji. V elementárních transformacích je mnohem obtížnější se zmást, než se to stává, když musíte ručně hledat determinant nebo nějakou záludnou inverzní matici. Pokud však používáte programy pro práci s daty tohoto typu, například tabulky, pak se ukazuje, že takové programy již obsahují algoritmy pro výpočet hlavních parametrů matic - determinant, vedlejší, inverzní a transponované matice atd.. A pokud jste si jisti, že stroj tyto hodnoty spočítá sám a neudělá chybu, je účelnější použít maticovou metodu nebo Cramerovy vzorce, protože jejich aplikace začíná a končí výpočtem determinantů a inverzních matic.
Aplikace
Protože Gaussovo řešení je algoritmus a matice je ve skutečnosti dvourozměrné pole, lze ji použít při programování. Ale protože se článek staví jako návod „pro blbce“, je třeba říci, že nejjednodušším místem, kam metodu vložit, jsou tabulky, například Excel. Opět platí, že jakýkoli SLAE zadaný do tabulky ve formě matice bude Excelem považován za dvourozměrné pole. A pro operace s nimi existuje mnoho pěkných příkazů: sčítání (lze sčítat pouze matice stejné velikosti!), Násobení číslem, násobení matic (také surčitá omezení), hledání inverzních a transponovaných matic a hlavně výpočet determinantu. Pokud je tento časově náročný úkol nahrazen jediným příkazem, je mnohem rychlejší určit hodnost matice, a tudíž stanovit její kompatibilitu nebo nekonzistenci.
