Zjednodušeně a stručně řečeno, rozsah jsou hodnoty, kterých může nabývat jakákoli funkce. Abyste mohli toto téma plně prozkoumat, musíte postupně rozebrat následující body a koncepty. Nejprve si ujasněme definici funkce a historii jejího vzhledu.
Co je funkce
Všechny exaktní vědy nám poskytují mnoho příkladů, kdy dané proměnné na sobě nějakým způsobem závisí. Například hustota látky je zcela určena její hmotností a objemem. Tlak ideálního plynu při konstantním objemu se mění s teplotou. Tyto příklady spojuje fakt, že všechny vzorce mají závislosti mezi proměnnými, které se nazývají funkcionální.
Funkce je pojem, který vyjadřuje závislost jedné veličiny na druhé. Má tvar y=f(x), kde y je hodnota funkce, která závisí na x - argumentu. Můžeme tedy říci, že y je proměnná závislá na hodnotě x. Hodnoty, které může mít x dohromady, jsoudefiniční obor dané funkce (D(y) nebo D(f)), a podle toho hodnoty y tvoří množinu funkčních hodnot (E(f) nebo E(y)). Jsou případy, kdy je funkce dána nějakým vzorcem. V tomto případě se doména definice skládá z hodnoty takových proměnných, ve kterých má zápis vzorcem smysl.
Existují shodné nebo stejné funkce. Toto jsou dvě funkce, které mají stejné rozsahy platných hodnot, stejně jako hodnoty samotné funkce jsou stejné pro všechny stejné argumenty.
Mnoho zákonů exaktních věd je pojmenováno podobně jako situace v reálném životě. Existuje také zajímavý fakt o matematické funkci. Existuje věta o limitě funkce „vložené“mezi dvě další, které mají stejnou limitu – o dvou policistech. Vysvětlují to takto: protože dva policisté vedou vězně do cely mezi nimi, je zločinec nucen tam jít a prostě nemá na výběr.
Odkaz na historický objekt
Pojem funkce se nestal okamžitě konečným a přesným, prošel dlouhou cestou k tomu, aby se stal. Za prvé, Fermatův Úvod a studium rovinných a pevných míst, publikovaný na konci 17. století, uvedl následující:
Kdykoli jsou v konečné rovnici dvě neznámé, je tam místo.
Obecně tato práce hovoří o funkční závislosti a jejím hmotném obrazu (místo=čára).
Zhruba ve stejnou dobu také Rene Descartes studoval čáry pomocí jejich rovnic ve svém díle „Geometrie“(1637), kde opětzávislost dvou veličin na sobě.
Samotná zmínka o termínu „funkce“se objevila až na konci 17. století u Leibnize, nikoli však v jeho moderní interpretaci. Ve své vědecké práci se domníval, že funkcí jsou různé segmenty spojené se zakřivenou čárou.
Ale již v 18. století se funkce začala definovat správněji. Bernoulli napsal následující:
Funkce je hodnota složená z proměnné a konstanty.
Eulerovy myšlenky byly také blízko tomuto:
Funkce proměnných veličin je analytický výraz vytvořený nějakým způsobem z této proměnné veličiny a čísel nebo konstantních veličin.
Když některé veličiny závisejí na jiných tak, že když se ty druhé změní, změní se i ony samy, pak se ty první nazývají funkcemi těch druhých.
Graf funkcí
Graf funkce se skládá ze všech bodů patřících k osám souřadnicové roviny, jejichž úsečky mají hodnoty argumentu a hodnoty funkce v těchto bodech jsou pořadnicemi.
Rozsah funkce přímo souvisí s jejím grafem, protože pokud jsou některé úsečky vyloučeny rozsahem platných hodnot, musíte do grafu nakreslit prázdné body nebo nakreslit graf v určitých mezích. Pokud se například vezme graf ve tvaru y=tgx, pak je z definiční oblasti vyloučena hodnota x=pi / 2 + pin, n∉R, v případě tečného grafu je třeba nakreslitsvislé čáry rovnoběžné s osou y (nazývají se asymptoty) procházející body ±pi/2.
Jakékoli důkladné a pečlivé studium funkcí tvoří velké odvětví matematiky zvané kalkul. V elementární matematice se dotýkáme také elementárních otázek o funkcích, například sestavení jednoduchého grafu a stanovení některých základních vlastností funkce.
Jakou funkci lze nastavit
Funkce může:
- být vzorcem, například: y=cos x;
- nastaveno libovolnou tabulkou dvojic tvaru (x; y);
- okamžitě mít grafické zobrazení, k tomu musí být na souřadnicových osách zobrazeny dvojice z předchozí položky formuláře (x; y).
Při řešení některých problémů na vysoké úrovni buďte opatrní, téměř každý výraz lze považovat za funkci s ohledem na nějaký argument pro hodnotu funkce y (x). Nalezení definiční domény v takových úlohách může být klíčem k řešení.
Jaký je rozsah?
První věc, kterou potřebujete vědět o funkci, abyste ji mohli studovat nebo sestavit, je její rozsah. Graf by měl obsahovat pouze ty body, kde funkce může existovat. Doména definice (x) může být také označována jako doména přijatelných hodnot (zkráceně ODZ).
Abyste správně a rychle sestavili graf funkcí, musíte znát doménu této funkce, protože na ní závisí vzhled grafu a jeho věrnostkonstrukce. Chcete-li například sestavit funkci y=√x, musíte vědět, že x může nabývat pouze kladných hodnot. Proto je postaven pouze v prvním souřadnicovém kvadrantu.
Rozsah definice na příkladu elementárních funkcí
Matematika má ve svém arzenálu malý počet jednoduchých, definovaných funkcí. Mají omezený rozsah. Řešení tohoto problému nezpůsobí potíže, i když máte před sebou takzvanou komplexní funkci. Je to jen kombinace několika jednoduchých.
- Funkce tedy může být zlomková, například: f(x)=1/x. Proměnná (náš argument) je tedy ve jmenovateli a každý ví, že jmenovatel zlomku nemůže být roven 0, proto argument může nabývat libovolné hodnoty kromě 0. Zápis bude vypadat takto: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Pokud je ve jmenovateli nějaký výraz s proměnnou, musíte vyřešit rovnici pro x a vyloučit hodnoty, které mění jmenovatele na 0. Pro schematické znázornění stačí 5 dobře vybraných bodů. Grafem této funkce bude hyperbola se svislou asymptotou procházející bodem (0; 0) a v kombinaci osami Ox a Oy. Pokud se grafický obrázek protíná s asymptotami, bude taková chyba považována za nejhrubší.
- Jaká je ale doména kořene? Definiční obor funkce s radikálním výrazem (f(x)=√(2x + 5)), obsahující proměnnou, má také své nuance (platí pouze pro odmocninu sudého stupně). Tak jakoaritmetický kořen je kladný výraz nebo roven 0, pak kořenový výraz musí být větší nebo roven 0, řešíme následující nerovnici: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, tedy definiční obor tohoto funkce: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Graf je jednou z větví paraboly, otočené o 90 stupňů a nachází se v prvním souřadnicovém kvadrantu.
- Pokud máme co do činění s logaritmickou funkcí, měli byste mít na paměti, že existuje omezení týkající se základu logaritmu a výrazu pod logaritmem, v tomto případě můžete najít doménu definice jako následuje. Máme funkci: y=loga(x + 7), vyřešíme nerovnici: x + 7 > 0, x > -7. Potom obor této funkce je D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Věnujte pozornost také goniometrickým funkcím tvaru y=tgx a y=ctgx, protože y=tgx=sinx/cos/x a y=ctgx=cosx/sinx, proto musíte hodnoty vyloučit při kterém se jmenovatel může rovnat nule. Pokud jste obeznámeni s grafy goniometrických funkcí, pochopit jejich doménu je jednoduchý úkol.
Jak se liší práce se složitými funkcemi
Pamatujte si několik základních pravidel. Pokud pracujeme s komplexní funkcí, pak není potřeba něco řešit, zjednodušovat, sčítat zlomky, redukovat na nejmenšího společného jmenovatele a extrahovat odmocniny. Tuto funkci musíme prozkoumat, protože různé (i identické) operace mohou změnit rozsah funkce, což vede k nesprávné odpovědi.
Například máme komplexní funkci: y=(x2 - 4)/(x - 2). Nemůžeme zmenšit čitatele a jmenovatele zlomku, protože to je možné pouze tehdy, je-li x ≠ 2, a to je úkolem najít definiční obor funkce, proto čitatel nefaktorujeme a neřešíme žádné nerovnice, protože hodnota, při které funkce neexistuje, viditelná pouhým okem. V tomto případě x nemůže nabýt hodnoty 2, protože jmenovatel nemůže přejít na 0, zápis bude vypadat takto: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Vzájemné funkce
Pro začátek stojí za to říci, že funkce může být reverzibilní pouze v intervalu zvýšení nebo snížení. Abyste našli inverzní funkci, musíte v zápisu prohodit x a y a vyřešit rovnici pro x. Definiční domény a domény hodnoty jsou jednoduše obráceny.
Hlavní podmínkou reverzibility je monotónní interval funkce, pokud má funkce intervaly růstu a poklesu, pak je možné sestavit inverzní funkci libovolného intervalu (rostoucí nebo klesající).
Například pro exponenciální funkci y=exreciproká je přirozená logaritmická funkce y=logea=lna. Pro trigonometrii to budou funkce s předponou arc-: y=sinx a y=arcsinx a tak dále. Grafy budou umístěny symetricky s ohledem na některé osy nebo asymptoty.
Závěry
Hledání rozsahu přijatelných hodnot se omezí na zkoumání grafu funkcí (pokud nějaký existuje),záznam a řešení potřebného specifického systému nerovností.
Tento článek vám pomohl pochopit, k čemu je rozsah funkce a jak ji najít. Doufáme, že vám pomůže dobře porozumět kurzu základní školy.
