Šestihranný hranol a jeho hlavní charakteristiky

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Prostorová geometrie je studium hranolů. Jejich důležitými vlastnostmi jsou objem v nich obsažený, plocha povrchu a počet prvků. V článku budeme uvažovat o všech těchto vlastnostech šestihranného hranolu.

O jakém hranolu mluvíme?

Šestihranný hranol je obrazec tvořený dvěma mnohoúhelníky se šesti stranami a šesti úhly a šesti rovnoběžníky spojujícími označené šestiúhelníky do jediného geometrického útvaru.

Na obrázku je příklad tohoto hranolu.

Červeně označený šestiúhelník se nazývá základna obrázku. Je zřejmé, že počet jeho základen je roven dvěma a obě jsou totožné. Žlutozelené strany hranolu se nazývají jeho strany. Na obrázku jsou znázorněny čtverci, ale obecně jsou to rovnoběžníky.

Šestihranný hranol může být nakloněný a rovný. V prvním případě nejsou úhly mezi základnou a stranami rovné, ve druhém jsou rovné 90o. Také tento hranol může být správný a nesprávný. Pravidelný šestiúhelníkovýhranol musí být rovný a mít na základně pravidelný šestiúhelník. Výše uvedený hranol na obrázku tyto požadavky splňuje, proto se nazývá správný. Dále v článku budeme studovat pouze jeho vlastnosti, jako obecný případ.

Elements

U každého hranolu jsou jeho hlavními prvky hrany, plochy a vrcholy. Výjimkou není ani šestiboký hranol. Výše uvedený obrázek umožňuje spočítat počet těchto prvků. Dostaneme tedy 8 ploch nebo stran (dvě základny a šest bočních rovnoběžníků), počet vrcholů je 12 (6 vrcholů pro každou základnu), počet hran šestibokého hranolu je 18 (šest bočních a 12 pro základny).

V 50. letech 18. století zavedl Leonhard Euler (švýcarský matematik) pro všechny mnohostěny, které zahrnují hranol, matematický vztah mezi čísly uvedených prvků. Tento vztah vypadá takto:

počet hran=počet ploch + počet vrcholů - 2.

Výše uvedené hodnoty splňují tento vzorec.

Úhlopříčky hranolu

Všechny úhlopříčky šestihranného hranolu lze rozdělit na dva typy:

• ty, které leží v rovinách jeho tváří;
• ty, které patří do celého objemu obrázku.

Obrázek níže zobrazuje všechny tyto úhlopříčky.

Je vidět, že D₁ je boční úhlopříčka, D₂ a D₃ jsou úhlopříčky celého hranolu, D₄ a D_{5 - úhlopříčky základny.}

Délky úhlopříček stran jsou stejné. Je snadné je vypočítat pomocí známé Pythagorovy věty. Nechť a je délka strany šestiúhelníku, b délka boční hrany. Pak má úhlopříčka délku:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonála D₄ lze také snadno určit. Pokud si připomeneme, že pravidelný šestiúhelník zapadá do kruhu o poloměru a, pak D_{4 je průměr tohoto kruhu, to znamená, že dostaneme následující vzorec:}

D_4=2a.

Diagonála D₅základny je poněkud těžší najít. K tomu uvažujme rovnostranný trojúhelník ABC (viz obr.). Pro něj AB=BC=a je úhel ABC 120^{o. Pokud snížíme výšku z tohoto úhlu (bude to také osa a medián), pak se polovina základny AC bude rovnat:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Strana AC je úhlopříčka D_{5, takže dostáváme:}

D_5=AC=√3a.

Nyní zbývá najít úhlopříčky D₂ a D_{3 pravidelného šestibokého hranolu. Chcete-li to provést, musíte vidět, že jsou to přepony odpovídajících pravoúhlých trojúhelníků. Pomocí Pythagorovy věty dostaneme:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Pro všechny hodnoty aab je tedy největší úhlopříčkaD_2.

Povrch

Abyste pochopili, co je v sázce, nejjednodušším způsobem je zvážit vývoj tohoto hranolu. Je zobrazen na obrázku.

Je vidět, že pro určení plochy všech stran uvažovaného obrázku je nutné samostatně vypočítat plochu čtyřúhelníku a plochu šestiúhelníku a poté je vynásobit odpovídajícími celými čísly rovnými počtu každého n-úhelníku v hranolu a sečtěte výsledky. Šestiúhelníky 2, obdélníky 6.

Pro plochu obdélníku dostaneme:

S_1=ab.

Pak plocha bočního povrchu je:

S_2=6ab.

K určení plochy šestiúhelníku je nejjednodušší použít odpovídající vzorec, který vypadá takto:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Dosazením čísla n rovného 6 do tohoto výrazu dostaneme obsah jednoho šestiúhelníku:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Tento výraz by měl být vynásoben dvěma, abyste získali plochu základny hranolu:

S_os=3√3a^2.

Zbývá přidat S_os a S_{2, abyste získali celkovou plochu obrázku:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Objem hranolu

Po vzorci proplochy šestihranné základny je výpočet objemu obsaženého v příslušném hranolu stejně snadný jako louskání hrušek. Chcete-li to provést, stačí vynásobit plochu základny (šestiúhelník) výškou postavy, jejíž délka se rovná délce boční hrany. Dostaneme vzorec:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Všimněte si, že součin podstavy a výšky udává hodnotu objemu absolutně libovolného hranolu, včetně toho šikmého. V druhém případě je však výpočet výšky komplikovaný, protože se již nebude rovnat délce bočního žebra. U pravidelného šestibokého hranolu je hodnota jeho objemu funkcí dvou proměnných: stran a a b.