Úhly mezi rovinami. Jak určit úhel mezi rovinami

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Při řešení geometrických problémů v prostoru se často vyskytují takové, kde je nutné vypočítat úhly mezi různými prostorovými objekty. V tomto článku se budeme zabývat otázkou hledání úhlů mezi rovinami a mezi nimi a přímkou.

Čára v prostoru

Je známo, že naprosto jakoukoli přímku v rovině lze definovat pomocí následující rovnosti:

y=ax + b

Tady aab jsou některá čísla. Pokud stejným výrazem znázorníme přímku v prostoru, pak dostaneme rovinu rovnoběžnou s osou z. Pro matematickou definici prostorové čáry se používá jiný způsob řešení než ve dvourozměrném případě. Spočívá v použití konceptu "směrového vektoru".

Směrový vektor přímky ukazuje její orientaci v prostoru. Tento parametr patří do řádku. Vzhledem k tomu, že v prostoru existuje nekonečná množina vektorů rovnoběžných, je pro jednoznačné určení uvažovaného geometrického objektu nutné znát také souřadnice bodu, který k němu patří.

Předpokládejme, že existujebod P(x₀; y₀; z_{0) a směrový vektor v¯(a; b; c), pak rovnici přímky lze zadat takto:}

(x; y; z)=P + αv¯ nebo

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Tento výraz se nazývá parametrická vektorová rovnice přímky. Koeficient α je parametr, který může nabývat naprosto libovolných reálných hodnot. Souřadnice čáry lze explicitně vyjádřit rozšířením této rovnosti:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

Rovnice roviny

Existuje několik forem psaní rovnice pro rovinu v prostoru. Zde budeme uvažovat o jednom z nich, který se nejčastěji používá při výpočtu úhlů mezi dvěma rovinami nebo mezi jednou z nich a přímkou.

Pokud je znám nějaký vektor n¯(A; B; C), který je kolmý na požadovanou rovinu, a bod P(x₀; y ₀; z_{0), který k němu patří, pak obecná rovnice pro druhý z nich je:}

Ax + By + Cz + D=0, kde D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Vynechali jsme odvození tohoto výrazu, které je docela jednoduché. Zde pouze poznamenáme, že při znalosti koeficientů proměnných v rovnici roviny lze snadno najít všechny vektory, které jsou na ni kolmé. Ty se nazývají normály a používají se při výpočtu úhlů mezi nakloněnou rovinou a mezi nimilibovolné analogy.

Umístění rovin a vzorec pro úhel mezi nimi

Řekněme, že existují dvě roviny. Jaké jsou možnosti jejich relativní polohy v prostoru. Protože rovina má dva nekonečné rozměry a jednu nulu, jsou možné pouze dvě možnosti jejich vzájemné orientace:

budou vzájemně rovnoběžné;
mohou se překrývat.

Úhel mezi rovinami je index mezi jejich směrovými vektory, tj. mezi jejich normálami n₁¯ a n_2¯.

Je zřejmé, že pokud jsou rovnoběžné s rovinou, pak je úhel průsečíku mezi nimi nulový. Pokud se protnou, pak je nenulový, ale vždy ostrý. Speciálním případem průsečíku bude úhel 90o, kdy jsou roviny na sebe navzájem kolmé.

Úhel α mezi n₁¯ a n_{2¯ lze snadno určit ze skalárního součinu těchto vektorů. To znamená, že vzorec probíhá:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Předpokládejme, že souřadnice těchto vektorů jsou: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Potom pomocí vzorců pro výpočet skalárního součinu a modulů vektorů prostřednictvím jejich souřadnic lze výše uvedený výraz přepsat jako:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Modul v čitateli se objevil kvůli vyloučení hodnot tupých úhlů.

Příklady řešení úloh k určení úhlu průsečíku rovin

Vědět, jak najít úhel mezi rovinami, vyřešíme následující problém. Jsou dány dvě roviny, jejichž rovnice jsou:

3x + 4y - z + 3=0;

-x – 2y + 5z +1=0

Jaký je úhel mezi rovinami?

Abychom odpověděli na otázku problému, připomeňme si, že koeficienty proměnných v obecné rovnici roviny jsou souřadnicemi naváděcího vektoru. Pro uvedené roviny máme následující souřadnice jejich normál:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Nyní najdeme skalární součin těchto vektorů a jejich modulů, máme:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Nyní můžete nalezená čísla dosadit do vzorce uvedeného v předchozím odstavci. Dostáváme:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Výsledná hodnota odpovídá ostrému úhlu průsečíku rovin zadaných v podmínceúkoly.

Nyní zvažte další příklad. Jsou dána dvě letadla:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Protínají se? Zapišme si hodnoty souřadnic jejich směrových vektorů, vypočítejme jejich skalární součin a moduly:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Pak úhel průsečíku je:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Tento úhel označuje, že se roviny neprotínají, ale jsou rovnoběžné. Skutečnost, že se navzájem neshodují, lze snadno zkontrolovat. Vezměme si za to libovolný bod patřící prvnímu z nich, například P(0; 3; 2). Dosadíme-li jeho souřadnice do druhé rovnice, dostaneme:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

To znamená, že bod P patří pouze do první roviny.

Takže dvě roviny jsou rovnoběžné, když jsou jejich normály.

Rovina a přímka

V případě uvažování relativní polohy mezi rovinou a přímkou existuje několik více možností než u dvou rovin. Tato skutečnost souvisí s tím, že přímka je jednorozměrný objekt. Čára a rovina mohou být:

vzájemně rovnoběžné, v tomto případě rovina přímku neprotíná;
to druhé může patřit k rovině, přičemž s ní bude také rovnoběžné;
oba objekty mohouprotínají se pod určitým úhlem.

Zvažme nejprve poslední případ, protože vyžaduje zavedení konceptu úhlu průsečíku.

Přímka a rovina, úhel mezi nimi

Pokud přímka protíná rovinu, nazývá se vzhledem k ní nakloněná. Průsečík se nazývá základna svahu. Pro určení úhlu mezi těmito geometrickými objekty je nutné spustit přímou kolmici k rovině z libovolného bodu. Potom průsečík kolmice s rovinou a místo průsečíku nakloněné přímky s ní tvoří přímku. Ten se nazývá projekce původní přímky na uvažovanou rovinu. Ostrý úhel mezi přímkou a její projekcí je požadovaný.

Poněkud matoucí definice úhlu mezi rovinou a šikmou rovinou objasní obrázek níže.

Zde úhel ABO je úhel mezi přímkou AB a rovinou a.

Chcete-li si zapsat vzorec, zvažte příklad. Nechť existuje přímka a rovina, které jsou popsány rovnicemi:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Je snadné vypočítat požadovaný úhel pro tyto objekty, pokud najdete skalární součin mezi směrovými vektory přímky a roviny. Výsledný ostrý úhel by měl být odečten od 90o, pak se získá mezi přímkou a rovinou.

Obrázek výše ukazuje popsaný algoritmus hledáníuvažovaný úhel. Zde β je úhel mezi normálou a přímkou a α je mezi přímkou a jejím průmětem do roviny. Je vidět, že jejich součet je 90o.

Výše byl uveden vzorec, který odpovídá na otázku, jak najít úhel mezi rovinami. Nyní uvedeme odpovídající výraz pro případ přímky a roviny:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Modul ve vzorci umožňuje vypočítat pouze ostré úhly. Funkce arcsinus se objevila místo arkosinusu kvůli použití odpovídajícího redukčního vzorce mezi goniometrickými funkcemi (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Problém: Rovina protíná přímku

Nyní si ukážeme, jak pracovat s výše uvedeným vzorcem. Vyřešme problém: je nutné vypočítat úhel mezi osou y a rovinou daný rovnicí:

y – z + 12=0

Toto letadlo je zobrazeno na obrázku.

Vidíte, že protíná osy yaz v bodech (0; -12; 0) a (0; 0; 12) a je rovnoběžná s osou x.

Směrový vektor přímky y má souřadnice (0; 1; 0). Vektor kolmý k dané rovině je charakterizován souřadnicemi (0; 1; -1). Aplikujeme vzorec pro úhel průsečíku přímky a roviny, dostaneme:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Problém: přímka rovnoběžná s rovinou

Teď se rozhodnemepodobně jako u předchozího problému, jehož otázka je položena jinak. Rovnice roviny a přímky jsou známé:

x + y – z – 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Je nutné zjistit, zda jsou tyto geometrické objekty navzájem rovnoběžné.

Máme dva vektory: směr přímky je (0; 2; 2) a směr roviny je (1; 1; -1). Najděte jejich bodový produkt:

01 + 12 - 12=0

Výsledná nula udává, že úhel mezi těmito vektory je 90o, což dokazuje, že přímka a rovina jsou rovnoběžné.

Nyní zkontrolujeme, zda je tato přímka pouze rovnoběžná nebo leží také v rovině. Chcete-li to provést, vyberte libovolný bod na přímce a zkontrolujte, zda patří do roviny. Vezměme například λ=0, pak bod P(1; 0; 0) náleží přímce. Dosaďte do rovnice roviny P:

1 - 3=-2 ≠ 0

Bod P nepatří do roviny, což znamená, že v ní neleží ani celá přímka.

Kde je důležité znát úhly mezi uvažovanými geometrickými objekty?

Výše uvedené vzorce a příklady řešení problémů nejsou zajímavé pouze z teoretického hlediska. Často se používají k určení důležitých fyzikálních veličin skutečných trojrozměrných obrazců, jako jsou hranoly nebo jehlany. Při výpočtu objemů obrazců a ploch jejich povrchů je důležité umět určit úhel mezi rovinami. Navíc, pokud v případě přímého hranolu je možné tyto vzorce k určení nepoužívatzadané hodnoty, pak pro jakýkoli typ pyramidy je jejich použití nevyhnutelné.

Níže zvažte příklad použití výše uvedené teorie k určení úhlů pyramidy se čtvercovou základnou.

Pyramida a její rohy

Na obrázku níže je pyramida, na jejíž základně leží čtverec o straně a. Výška postavy je h. Potřebujete najít dva rohy:

mezi bočním povrchem a základnou;
mezi bočním žebrem a základnou.

Pro vyřešení problému musíte nejprve zadat souřadnicový systém a určit parametry odpovídajících vrcholů. Obrázek ukazuje, že počátek souřadnic se shoduje s bodem ve středu čtvercové základny. V tomto případě je základní rovina popsána rovnicí:

z=0

To znamená, že pro libovolné x a y je hodnota třetí souřadnice vždy nula. Boční rovina ABC protíná osu z v bodě B(0; 0; h) a osu y v bodě se souřadnicemi (0; a/2; 0). Nekříží osu x. To znamená, že rovnici roviny ABC lze zapsat jako:

y / (a / 2) + z / h=1 nebo

2hy + az - ah=0

Vektor AB¯ je boční hrana. Jeho počáteční a koncové souřadnice jsou: A(a/2; a/2; 0) a B(0; 0; h). Potom souřadnice samotného vektoru:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Našli jsme všechny potřebné rovnice a vektory. Nyní zbývá použít uvažované vzorce.

Nejprve vypočítáme v pyramidě úhel mezi rovinami základnya boční. Odpovídající normální vektory jsou: n₁¯(0; 0; 1) a n_{2¯(0; 2h; a). Potom bude úhel:}