Vzdálenost mezi rovnoběžnými čarami. Vzdálenost mezi rovnoběžnými rovinami

Obsah:

Vzdálenost mezi rovnoběžnými čarami. Vzdálenost mezi rovnoběžnými rovinami
Vzdálenost mezi rovnoběžnými čarami. Vzdálenost mezi rovnoběžnými rovinami
Anonim

Čára a rovina jsou dva nejdůležitější geometrické prvky, které lze použít ke konstrukci různých tvarů ve 2D a 3D prostoru. Zvažte, jak najít vzdálenost mezi rovnoběžnými čarami a rovnoběžnými rovinami.

Matematický úkol rovně

Z kurzu školní geometrie je známo, že ve dvourozměrném pravoúhlém souřadnicovém systému lze přímku zadat v následujícím tvaru:

y=kx + b.

Kde kab jsou čísla (parametry). Psaná forma znázornění přímky v rovině je rovina, která je rovnoběžná s osou z v trojrozměrném prostoru. Vzhledem k tomu v tomto článku pro matematické zadání přímky použijeme pohodlnější a univerzálnější formu - vektorovou.

Předpokládejme, že naše přímka je rovnoběžná s nějakým vektorem u¯(a,b,c) a prochází bodem P(x0, y0, z0). V tomto případě ve vektorové podobě bude její rovnice reprezentována následovně:

(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).

Zde λ je libovolné číslo. Pokud explicitně znázorníme souřadnice rozšířením psaného výrazu, pak dostaneme parametrickou formu zápisu přímky.

S vektorovou rovnicí je vhodné pracovat při řešení různých úloh, ve kterých je potřeba určit vzdálenost mezi rovnoběžnými čarami.

Čáry a vzdálenost mezi nimi

Rovnoběžné čáry v rovině
Rovnoběžné čáry v rovině

O vzdálenosti mezi čarami má smysl mluvit pouze tehdy, když jsou rovnoběžné (v trojrozměrném případě existuje také nenulová vzdálenost mezi šikmými čarami). Pokud se čáry protínají, je zřejmé, že jsou od sebe v nulové vzdálenosti.

Vzdálenost mezi rovnoběžnými čarami je délka kolmice, která je spojuje. K určení tohoto ukazatele stačí vybrat libovolný bod na jedné z přímek a přenést z něj kolmici na jinou.

Pojďme si stručně popsat postup hledání požadované vzdálenosti. Předpokládejme, že známe vektorové rovnice dvou čar, které jsou uvedeny v následujícím obecném tvaru:

(x, y, z)=P + λu¯;

(x, y, z)=Q + βv¯.

Na těchto přímkách sestrojte rovnoběžník tak, aby jedna ze stran byla PQ a druhá, například u. Je zřejmé, že výška tohoto obrázku, nakresleného z bodu P, je délkou požadované kolmice. Chcete-li to najít, můžete použít následující jednoduchývzorec:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Vzhledem k tomu, že vzdálenost mezi přímkami je délkou kolmého segmentu mezi nimi, stačí podle písemného vyjádření najít modul vektorového součinu PQ¯ a u¯ a výsledek vydělit délka vektoru u¯.

Příklad úlohy k určení vzdálenosti mezi rovnými čarami

Vzdálenost mezi rovnoběžnými čarami
Vzdálenost mezi rovnoběžnými čarami

Dvě rovné čáry jsou dány následujícími vektorovými rovnicemi:

(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);

(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).

Z psaných výrazů je zřejmé, že máme dvě rovnoběžné čáry. Pokud skutečně vynásobíme -1 souřadnice směrového vektoru prvního řádku, dostaneme souřadnice směrového vektoru druhého řádku, což ukazuje na jejich rovnoběžnost.

Vzdálenost mezi rovnými čarami bude vypočítána pomocí vzorce napsaného v předchozím odstavci článku. Máme:

P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);

u¯=(-2, 1, 3).

Pak dostaneme:

|u¯|=√14cm;

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.

Všimněte si, že místo bodů P a Q lze k vyřešení problému použít absolutně jakékoli body, které patří do těchto čar. V tomto případě bychom dostali stejnou vzdálenost d.

Nastavení roviny v geometrii

Rovina, bod a normální
Rovina, bod a normální

Otázka vzdálenosti mezi čarami byla podrobně diskutována výše. Nyní si ukážeme, jak najít vzdálenost mezi rovnoběžnými rovinami.

Každý představuje to, co je letadlo. Podle matematické definice je zadaný geometrický prvek souborem bodů. Navíc, pokud složíte všechny možné vektory pomocí těchto bodů, pak všechny budou kolmé na jeden jediný vektor. To druhé se obvykle nazývá normála k rovině.

Pro specifikaci rovnice roviny v trojrozměrném prostoru se nejčastěji používá obecný tvar rovnice. Vypadá to takto:

Ax + By + Cz + D=0.

Kde velká latinská písmena jsou nějaká čísla. Je vhodné použít tento druh rovinné rovnice, protože souřadnice normálového vektoru jsou v ní výslovně uvedeny. Jsou to A, B, C.

Je snadné vidět, že dvě roviny jsou rovnoběžné pouze tehdy, když jsou rovnoběžné jejich normály.

Jak najít vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými rovinami?

Paralelní roviny
Paralelní roviny

Abyste mohli určit specifikovanou vzdálenost, měli byste jasně porozumět tomu, co je v sázce. Vzdálenost mezi rovinami, které jsou navzájem rovnoběžné, je chápána jako délka segmentu k nim kolmého. Konce tohoto segmentu patří rovinám.

Algoritmus pro řešení takových problémů je jednoduchý. Chcete-li to provést, musíte najít souřadnice absolutně jakéhokoli bodu, který patří do jedné ze dvou rovin. Pak byste měli použít tento vzorec:

d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).

Vzhledem k tomu, že vzdálenost je kladná hodnota, je znaménko modulu v čitateli. Psaný vzorec je univerzální, protože vám umožňuje vypočítat vzdálenost od roviny k absolutně libovolnému geometrickému prvku. Stačí znát souřadnice jednoho bodu tohoto prvku.

Pro úplnost poznamenejme, že pokud normály dvou rovin nejsou vzájemně rovnoběžné, pak se takové roviny protnou. Vzdálenost mezi nimi pak bude nulová.

Problém určování vzdálenosti mezi rovinami

Rovnoběžné a protínající se roviny
Rovnoběžné a protínající se roviny

Je známo, že dvě roviny jsou dány následujícími výrazy:

y/5 + x/(-3) + z/1=1;

-x + 3/5y + 3z – 2=0.

Je nutné dokázat, že roviny jsou rovnoběžné, a také určit vzdálenost mezi nimi.

Abyste mohli odpovědět na první část úlohy, musíte první rovnici uvést do obecného tvaru. Všimněte si, že je uvedena v tzv. tvaru rovnice v segmentech. Vynásobte její levou a pravou část 15 a přesuňte všechny členy na jednu stranu rovnice, dostaneme:

-5x + 3y + 15z – 15=0.

Vypišme souřadnice dvou normálových vektorů rovin:

1¯=(-5, 3, 15);

2¯=(-1, 3/5, 3).

Je vidět, že pokud n2¯ vynásobíme 5, dostaneme přesně souřadnice n1¯. Tedy uvažované roviny jsouparalelní.

Pro výpočet vzdálenosti mezi rovnoběžnými rovinami vyberte libovolný bod první z nich a použijte výše uvedený vzorec. Vezměme si například bod (0, 0, 1), který patří do první roviny. Pak dostaneme:

d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=

=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.

Požadovaná vzdálenost je 31 mm.

Vzdálenost mezi rovinou a přímkou

Rovnoběžná rovina a přímka
Rovnoběžná rovina a přímka

Poskytnuté teoretické znalosti nám také umožňují vyřešit problém určení vzdálenosti mezi přímkou a rovinou. Již bylo zmíněno výše, že vzorec platný pro výpočty mezi rovinami je univerzální. Lze jej také použít k vyřešení problému. Chcete-li to provést, vyberte libovolný bod, který patří do dané čáry.

Hlavním problémem při určování vzdálenosti mezi uvažovanými geometrickými prvky je důkaz jejich rovnoběžnosti (pokud ne, pak d=0). Rovnoběžnost lze snadno dokázat, pokud vypočítáte skalární součin normály a směrového vektoru pro přímku. Pokud jsou uvažované prvky rovnoběžné, bude tento součin roven nule.

Doporučuje: