Vypočítejte úhel mezi přímkou a rovinou. Souřadnicová metoda řešení problémů

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Jedním z běžných problémů stereometrie jsou úkoly křížení přímek a rovin a počítání úhlů mezi nimi. Podívejme se v tomto článku podrobněji na tzv. metodu souřadnic a úhly mezi přímkou a rovinou.

Přímka a rovina v geometrii

Před zvážením metody souřadnic a úhlu mezi přímkou a rovinou byste se měli seznámit s pojmenovanými geometrickými objekty.

Čára je takový soubor bodů v prostoru nebo na rovině, z nichž každý lze získat lineárním přenesením předchozího do určitého vektoru. Dále tento vektor označíme symbolem u¯. Pokud tento vektor vynásobíme libovolným číslem, které se nerovná nule, dostaneme vektor rovnoběžný s u¯. Čára je lineární nekonečný objekt.

Rovina je také soubor bodů, které jsou umístěny tak, že pokud z nich vytvoříte libovolné vektory, budou všechny kolmé k nějakému vektoru n¯. To druhé se nazývá normální nebo jednoduše normální. Rovina, na rozdíl od přímky, je dvourozměrný nekonečný objekt.

Souřadnicová metoda pro řešení geometrických problémů

Na základě samotného názvu metody můžeme usoudit, že mluvíme o metodě řešení problémů, která je založena na provádění analytických sekvenčních výpočtů. Jinými slovy, souřadnicová metoda umožňuje řešit geometrické problémy pomocí nástrojů univerzální algebry, z nichž hlavní jsou rovnice.

Je třeba poznamenat, že zvažovaná metoda se objevila na úsvitu moderní geometrie a algebry. V 17.-18. století k jejímu rozvoji významně přispěli René Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton a Leibniz.

Podstatou metody je vypočítat vzdálenosti, úhly, plochy a objemy geometrických prvků na základě souřadnic známých bodů. Všimněte si, že tvar výsledných rovnic závisí na souřadnicovém systému. Nejčastěji se v problémech používá pravoúhlý kartézský systém, protože je nejpohodlnější s ním pracovat.

Řádková rovnice

Zvážení souřadnicové metody a úhlů mezi přímkou a rovinou, začněme nastavením rovnice přímky. Existuje několik způsobů, jak znázornit čáry v algebraické formě. Zde uvažujeme pouze vektorovou rovnici, protože ji lze z ní snadno získat v jakékoli jiné formě a snadno se s ní pracuje.

Předpokládejme, že existují dva body: P a Q. Je známo, že jimi lze nakreslit čáru.bude jediný. Odpovídající matematická reprezentace prvku vypadá takto:

(x, y, z)=P + λPQ¯.

Kde PQ¯ je vektor, jehož souřadnice se získávají následovně:

PQ¯=Q – P.

Symbol λ označuje parametr, který může mít naprosto libovolné číslo.

V písemném vyjádření můžete změnit směr vektoru a také dosadit souřadnice Q místo bodu P. Všechny tyto transformace nepovedou ke změně geometrického umístění čáry.

Všimněte si, že při řešení problémů je někdy vyžadováno reprezentovat zapsanou vektorovou rovnici v explicitní (parametrické) formě.

Nastavení letadla ve vesmíru

Stejně jako pro přímku existuje také několik forem matematických rovnic pro rovinu. Mezi nimi si všimneme vektoru, rovnice v segmentech a obecného tvaru. V tomto článku budeme věnovat zvláštní pozornost poslednímu formuláři.

Obecnou rovnici pro libovolnou rovinu lze napsat následovně:

Ax + By + Cz + D=0.

Velká latinská písmena jsou určitá čísla, která definují rovinu.

Výhoda tohoto zápisu je, že explicitně obsahuje vektor kolmý k rovině. Je rovno:

n¯=(A, B, C).

Znalost tohoto vektoru umožňuje, když se krátce podíváme na rovnici roviny, představit si její umístění v souřadnicovém systému.

Vzájemné ujednání vprostor přímky a roviny

V dalším odstavci článku přejdeme k úvahám o metodě souřadnic a úhlu mezi přímkou a rovinou. Zde odpovíme na otázku, jak lze uvažované geometrické prvky umístit v prostoru. Existují tři způsoby:

Přímka protíná rovinu. Pomocí souřadnicové metody můžete vypočítat, v jakém jediném bodě se přímka a rovina protínají.
Rovina přímky je rovnoběžná. V tomto případě soustava rovnic geometrických prvků nemá řešení. K prokázání rovnoběžnosti se obvykle používá vlastnost skalárního součinu směrového vektoru přímky a normály roviny.
Rovina obsahuje čáru. Při řešení soustavy rovnic v tomto případě dojdeme k závěru, že pro jakoukoli hodnotu parametru λ je získána správná rovnost.

Ve druhém a třetím případě je úhel mezi určenými geometrickými objekty roven nule. V prvním případě leží mezi 0 a 90o.

Výpočet úhlů mezi přímkami a rovinami

Nyní přejdeme přímo k tématu článku. Jakýkoli průsečík přímky a roviny nastává pod určitým úhlem. Tento úhel tvoří samotná přímka a její průmět do roviny. Projekci lze získat, když z libovolného bodu přímky spustíme kolmici na rovinu, a pak získaným průsečíkem roviny a kolmice a průsečíkem roviny a původní přímky nakreslíme přímka, která bude projekcí.

Výpočet úhlů mezi přímkami a rovinami není obtížný úkol. K jeho řešení stačí znát rovnice odpovídajících geometrických objektů. Řekněme, že tyto rovnice vypadají takto:

(x, y, z)=(x₀, y₀, z_{0) + λ(a, b, c);}

Ax + By + Cz + D=0.

Požadovaný úhel lze snadno najít pomocí vlastnosti součinu skalárních vektorů u¯ a n¯. Konečný vzorec vypadá takto:

θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).

Tento vzorec říká, že sinus úhlu mezi přímkou a rovinou je roven poměru modulu skalárního součinu označených vektorů k součinu jejich délek. Abychom pochopili, proč se místo kosinus objevil sinus, podívejme se na obrázek níže.

Je vidět, že pokud použijeme funkci kosinus, dostaneme úhel mezi vektory u¯ a n¯. Požadovaný úhel θ (α na obrázku) se získá následovně:

θ=90o- β.

Sinus se objeví jako výsledek použití redukčních vzorců.

Příklad problému

Přejděme k praktickému využití získaných znalostí. Vyřešme typický problém o úhlu mezi přímkou a rovinou. Jsou uvedeny následující souřadnice čtyř bodů:

P=(1, -1, 0);

Q=(-1, 2, 2);

M=(0, 3, -1);

N=(-2, -1, 1).

Je známo, že prostřednictvím bodů PQMprochází jím rovina a MN prochází přímka. Pomocí souřadnicové metody je třeba vypočítat úhel mezi rovinou a přímkou.

Nejprve si zapišme rovnice přímky a roviny. Pro rovnou čáru je snadné ji složit:

MN¯=(-2, -4, 2)=>

(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).

Abychom vytvořili rovnici roviny, nejprve k ní najdeme normálu. Jeho souřadnice se rovnají vektorovému součinu dvou vektorů ležících v dané rovině. Máme: