Pythagorova věta: druhá mocnina přepony se rovná součtu noh na druhou

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Každý student ví, že druhá mocnina přepony je vždy rovna součtu větví, z nichž každá je druhá mocnina. Toto tvrzení se nazývá Pythagorova věta. Je to jedna z nejznámějších vět v trigonometrii a matematice obecně. Zvažte to podrobněji.

Koncept pravoúhlého trojúhelníku

Než přistoupíme k úvahám o Pythagorově větě, ve které se druhá mocnina přepony rovná součtu větví, které jsou na druhou, měli bychom zvážit koncept a vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku, pro který platí věta je platný.

Trojúhelník je plochá postava se třemi úhly a třemi stranami. Pravoúhlý trojúhelník, jak jeho název napovídá, má jeden pravý úhel, to znamená, že tento úhel je 90o.

Z obecných vlastností pro všechny trojúhelníky je známo, že součet všech tří úhlů tohoto obrázku je 180^o, což znamená, že pro pravoúhlý trojúhelník je součet dva úhly, které nejsou správné, je 180^o -90^o=90^o. Poslední skutečnost znamená, že jakýkoli úhel v pravoúhlém trojúhelníku, který není pravý, bude vždy menší než 90^o.

Strana, která leží proti pravému úhlu, se nazývá přepona. Další dvě strany jsou nohy trojúhelníku, mohou si být rovny, nebo se mohou lišit. Z trigonometrie je známo, že čím větší úhel, proti kterému leží strana v trojúhelníku, tím větší je délka této strany. To znamená, že v pravoúhlém trojúhelníku bude přepona (ležící proti úhlu 90^o) vždy větší než kterákoli z větví (ležící proti úhlům < 90^o).

Matematický zápis Pythagorovy věty

Tato věta říká, že druhá mocnina přepony se rovná součtu větví, z nichž každá byla předtím umocněna na druhou. Abychom tuto formulaci napsali matematicky, uvažujme pravoúhlý trojúhelník, ve kterém strany a, b a c jsou dvě nohy a přepona. V tomto případě lze větu, která je uvedena jako druhá mocnina přepony rovna součtu čtverců větví, reprezentovat následujícím vzorcem: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Odtud lze získat další vzorce důležité pro procvičování: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) a c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Všimněte si, že v případě pravoúhlého rovnostranného trojúhelníku, tedy a=b, platí formulace: druhá mocnina přepony se rovná součtu větví, z nichž každána druhou, matematicky zapsáno jako: c²=a² + b²=2a ^{2, což znamená rovnost: c=a√2.}

Historické pozadí

Pythagorova věta, která říká, že druhá mocnina přepony se rovná součtu noh, z nichž každá je na druhou, byla známa dávno předtím, než jí věnoval pozornost slavný řecký filozof. Mnoho papyrů starověkého Egypta, stejně jako hliněné tabulky Babyloňanů, potvrzují, že tyto národy využívaly zmíněnou vlastnost stran pravoúhlého trojúhelníku. Například jedna z prvních egyptských pyramid, Rachefova pyramida, jejíž stavba se datuje do 26. století před naším letopočtem (2000 let před životem Pythagora), byla postavena na základě znalosti poměru stran v pravoúhlém trojúhelníku 3x4x5.

Proč je tedy věta nyní pojmenována po Řekovi? Odpověď je jednoduchá: Pythagoras je první, kdo tuto větu matematicky dokázal. Přežívající babylonské a egyptské spisy pouze zmiňují jeho použití, ale neposkytují žádný matematický důkaz.

Předpokládá se, že Pythagoras dokázal uvažovanou větu pomocí vlastností podobných trojúhelníků, které získal nakreslením výšky v pravoúhlém trojúhelníku od úhlu 90o k přepona.

Příklad použití Pythagorovy věty

Zvažte jednoduchý problém: je nutné určit délku šikmého schodiště L, pokud je známo, že má výšku H=3metrů a vzdálenost od stěny, o kterou se žebřík opírá, k jeho noze je P=2,5 metru.

V tomto případě jsou H a P nohy a L je přepona. Protože délka přepony je rovna součtu čtverců nohou, dostaneme: L²=H² + P 2^{, odkud L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 metru nebo 3 metry a 90,5 cm.}