Co jsou proměnné? Proměnná v matematice

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Význam proměnných v matematice je velký, protože za dobu její existence se vědcům podařilo v této oblasti učinit mnoho objevů a abychom stručně a jasně vyslovili tu či onu větu, pomocí proměnných zapisujeme odpovídající vzorce. Například Pythagorova věta o pravoúhlém trojúhelníku: a² =b² + c^{2. Jak psát pokaždé při řešení problému: podle Pythagorovy věty je druhá mocnina přepony rovna součtu druhých mocnin nohou - zapíšeme to vzorcem a vše se okamžitě vyjasní.}

Tento článek tedy pojednává o tom, co jsou proměnné, jejich typy a vlastnosti. Budou uvažovány také různé matematické výrazy: nerovnosti, vzorce, systémy a algoritmy pro jejich řešení.

Proměnný koncept

Za prvé, co je to proměnná? Jedná se o číselnou hodnotu, která může nabývat mnoha hodnot. Nemůže být konstantní, protože v různých problémech a rovnicích pro pohodlí bereme řešení jakoproměnná různá čísla, to je například z je obecné označení pro každou z veličin, pro kterou se bere. Obvykle se označují písmeny latinské nebo řecké abecedy (x, y, a, b atd.).

Existují různé druhy proměnných. Nastavují jak některé fyzikální veličiny - cestu (S), čas (t), tak jednoduše neznámé hodnoty v rovnicích, funkcích a dalších výrazech.

Existuje například vzorec: S=Vt. Zde proměnné označují určité veličiny související se skutečným světem – cestu, rychlost a čas.

A existuje rovnice ve tvaru: 3x - 16=12x. Zde se x již bere jako abstraktní číslo, které v tomto zápisu dává smysl.

Typy množství

Částka znamená něco, co vyjadřuje vlastnosti určitého předmětu, látky nebo jevu. Například teplota vzduchu, hmotnost zvířete, procento vitamínů v tabletě – to vše jsou veličiny, jejichž číselné hodnoty lze vypočítat.

Každá veličina má své vlastní měrné jednotky, které dohromady tvoří systém. Říká se tomu číselná soustava (SI).

Co jsou proměnné a konstanty? Zvažte je na konkrétních příkladech.

Vezměme přímočarý rovnoměrný pohyb. Bod ve vesmíru se pokaždé pohybuje stejnou rychlostí. To znamená, že čas a vzdálenost se mění, ale rychlost zůstává stejná. V tomto příkladu jsou čas a vzdálenost proměnné a rychlost je konstantní.

Nebo například „pí“. Toto je iracionální číslo, které pokračuje bez opakováníposloupnost číslic a nelze ji zapsat celou, proto se v matematice vyjadřuje obecně přijímaným symbolem, který nabývá pouze hodnoty daného nekonečného zlomku. To znamená, že „pi“je konstantní hodnota.

Historie

Historie zápisu proměnných začíná v sedmnáctém století u vědce René Descarta.

Známé hodnoty označil prvními písmeny abecedy: a, b a tak dále a pro neznámé navrhl použít poslední písmena: x, y, z. Je pozoruhodné, že Descartes považoval takové proměnné za nezáporná čísla, a když čelil negativním parametrům, dal před proměnnou znaménko mínus nebo, pokud nebylo známo, o jaké znaménko se jedná, elipsu. Postupem času však názvy proměnných začaly označovat čísla jakéhokoli znaménka, a to začalo matematikem Johannem Huddem.

S proměnnými se výpočty v matematice řeší snadněji, protože například jak nyní řešíme bikvadratické rovnice? Zadáme proměnnou. Například:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Pro x2 vezmeme nějaké k a rovnice je jasná:

x2=k, pro k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

To je to, co zavedení proměnných přináší do matematiky.

Nerovnosti, příklady řešení

Nerovnice je záznam, ve kterém jsou dva matematické výrazy nebo dvě čísla spojeny porovnávacími znaky:, ≦, ≧. Jsou přísné a jsou označeny znaky nebo nepřísné se znaky ≦, ≧.

Poprvé tyto značky představenyThomas Harriot. Po Thomasově smrti vyšla jeho kniha s těmito zápisy, matematici si je oblíbili a postupem času se staly široce používány v matematických výpočtech.

Při řešení jednotlivých proměnných nerovností je třeba dodržovat několik pravidel:

Při převodu čísla z jedné části nerovnosti do druhé změňte jeho znaménko na opačné.
Při násobení nebo dělení částí nerovnosti záporným číslem se jejich znaménka obrátí.
Pokud vynásobíte nebo vydělíte obě strany nerovnosti kladným číslem, dostanete nerovnost rovnou původní.

Řešení nerovnosti znamená nalezení všech platných hodnot pro proměnnou.

Příklad jedné proměnné:

10x – 50 > 150

Řešíme to jako normální lineární rovnici - členy s proměnnou posuneme doleva, bez proměnné - doprava a dáme podobné členy:

10x > 200

Vydělíme obě strany nerovnosti 10 a dostaneme:

x > 20

Pro názornost si v příkladu řešení nerovnice s jednou proměnnou nakreslete číselnou osu, vyznačte na ní proražený bod 20, protože nerovnost je striktní a toto číslo není zahrnuto v množině jejích řešení.

Řešením této nerovnosti je interval (20; +∞).

Nepřísná nerovnost se řeší stejným způsobem jako přísná:

6x – 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Je tu ale jedna výjimka. Záznam ve tvaru x ≧ 5 je třeba chápat následovně: x je větší nebo rovno pěti, což znamenáčíslo pět je obsaženo v množině všech řešení nerovnice, to znamená, že při psaní odpovědi dáme před číslo pět hranatou závorku.

x ∈ [5; +∞)

Čtvercové nerovnosti

Pokud vezmeme kvadratickou rovnici ve tvaru ax2 + bx +c=0 a změníme v ní rovnítko na znaménko nerovnosti, získáme odpovídajícím způsobem kvadratická nerovnost.

Abyste mohli vyřešit kvadratickou nerovnost, musíte umět řešit kvadratické rovnice.

y=ax2 + bx + c je kvadratická funkce. Můžeme to vyřešit pomocí diskriminantu nebo pomocí Vietovy věty. Připomeňte si, jak se tyto rovnice řeší:

1) y=x2 + 12x + 11 - funkce je parabola. Jeho větve směřují nahoru, protože znaménko koeficientu "a" je kladné.

2) x2 + 12x + 11=0 – rovná se nule a řešte pomocí diskriminantu.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 kořeny

Podle vzorce kořenů kvadratické rovnice dostáváme:

x₁ =-1, x_2=-11

Nebo můžete tuto rovnici vyřešit pomocí Vieta teorému:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Použitím metody výběru získáme stejné kořeny rovnice.

Parabola

První způsob, jak vyřešit kvadratickou nerovnost, je parabola. Algoritmus pro jeho řešení je následující:

1. Určete, kam směřují větve paraboly.

2. Srovnejte funkci s nulou a najděte kořeny rovnice.

3. Postavíme číselnou osu, označíme na ní kořeny, nakreslíme parabolu a najdeme mezeru, kterou potřebujeme, v závislosti na znaménku nerovnosti.

Vyřešte nerovnost x2 + x - 12 > 0

Zapište jako funkci:

1) y=x2 + x - 12 - parabola, větve nahoru.

Nastaveno na nulu.

2) x2 + x -12=0

Dále řešíme jako kvadratickou rovnici a najdeme nuly funkce:

x₁ =3, x_2=-4

3) Nakreslete číselnou osu s body 3 a -4. Parabola jimi projde, rozvětví se a odpovědí na nerovnost bude množina kladných hodnot, tedy (-∞; -4), (3; +∞).

Intervalová metoda

Druhým způsobem je metoda mezer. Algoritmus pro jeho řešení:

1. Najděte kořeny rovnice, pro kterou je nerovnost rovna nule.

2. Označíme je na číselné řadě. Je tedy rozdělena do několika intervalů.

3. Určete znaménko libovolného intervalu.

4. Značky umísťujeme ve zbývajících intervalech a po jednom je měníme.

Vyřešte nerovnost (x - 4) (x - 5) (x + 7) ≦ 0

1) Nuly nerovnosti: 4, 5 a -7.

2) Nakreslete je na číselnou osu.

3) Určete znaménka intervalů.

Odpověď: (-∞; -7]; [4; 5].

Vyřešte ještě jednu nerovnost: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Nuly nerovnosti: 0, 2, -2 a 1.

2. Označte je na číselné řadě.

3. Určete intervalové znaky.

Řádek je rozdělen do intervalů - od -2 do 0, od 0 do 1, od 1 do 2.

Vezměte hodnotu na prvním intervalu - (-1). Náhradník v nerovnosti. S touto hodnotou se nerovnost stane kladnou, což znamená, že znaménko na tomto intervalu bude +.

Dále, počínaje první mezerou, uspořádáme značky a po jedné je změníme.

Nerovnice je větší než nula, to znamená, že musíte na řádku najít sadu kladných hodnot.

Odpověď: (-2; 0), (1; 2).

Soustavy rovnic

Soustava rovnic se dvěma proměnnými jsou dvě rovnice spojené složenou závorkou, pro které je nutné najít společné řešení.

Systémy mohou být ekvivalentní, pokud obecné řešení jednoho z nich je řešením druhého, nebo oba nemají žádná řešení.

Budeme studovat řešení soustav rovnic se dvěma proměnnými. Existují dva způsoby, jak je vyřešit - substituční metoda nebo algebraická metoda.

Algebraická metoda

Pro řešení soustavy znázorněné na obrázku touto metodou musíte nejprve vynásobit jednu její část takovým číslem, abyste později mohli vzájemně zrušit jednu proměnnou z obou částí rovnice. Zde vynásobíme třemi, nakreslíme čáru pod soustavu a její části sečteme. Výsledkem je, že x se stanou identickými v modulu, ale opačným znaménkem, a snížíme je. Dále získáme lineární rovnici s jednou proměnnou a vyřešíme ji.

Našli jsme Y, ale nemůžeme tam skončit, protože jsme X ještě nenašli. NáhradníY na část, ze které bude vhodné odebrat X, například:

-x + 5y=8, přičemž y=1

-x + 5=8

Vyřešte výslednou rovnici a najděte x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Hlavní při řešení systému je správně zapsat odpověď. Mnoho studentů dělá chybu, když píší:

Odpověď: -3, 1.

Toto je ale chybné zadání. Ostatně, jak již bylo zmíněno výše, při řešení soustavy rovnic hledáme obecné řešení jejích částí. Správná odpověď by byla:

(-3; 1)