Při přípravě na zkoušku z matematiky musí studenti systematizovat své znalosti z algebry a geometrie. Chtěl bych zkombinovat všechny známé informace, například jak vypočítat plochu pyramidy. Navíc, počínaje od základny a bočních ploch až po celou plochu povrchu. Pokud je situace s bočními plochami jasná, protože se jedná o trojúhelníky, základna je vždy jiná.
Jak najít oblast základny pyramidy?
Může to být naprosto jakýkoli tvar: od libovolného trojúhelníku po n-úhelník. A tato základna, kromě rozdílu v počtu úhlů, může být pravidelná nebo nesprávná. V úlohách USE, které zajímají školáky, jsou na základně pouze úlohy se správnými figurami. Proto budeme mluvit pouze o nich.
Pravidelný trojúhelník
To je rovnostranné. Takový, ve kterém jsou všechny strany stejné a označený písmenem „a“. V tomto případě se plocha základny pyramidy vypočítá podle vzorce:
S=(a2√3) / 4.
Čtverec
Vzorec pro výpočet jeho plochy je nejjednodušší,zde "a" je opět strana:
S=a2.
Libovolný pravidelný n-úhelník
Strana mnohoúhelníku má stejné označení. Pro počet rohů se používá latinské písmeno n.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Jak vypočítat boční a celkový povrch?
Protože základna je pravidelný obrazec, jsou všechny strany pyramidy stejné. Navíc je každý z nich rovnoramenný trojúhelník, protože boční hrany jsou stejné. Pak, abyste mohli vypočítat boční plochu pyramidy, potřebujete vzorec sestávající ze součtu identických monomiálů. Počet členů je určen počtem stran základny.
Obsah rovnoramenného trojúhelníku se vypočítá podle vzorce, ve kterém se polovina součinu základny vynásobí výškou. Tato výška v pyramidě se nazývá apotém. Jeho označení je „A“. Obecný vzorec pro boční povrch je:
S=½ PA, kde P je obvod základny pyramidy.
Jsou situace, kdy strany základny nejsou známy, ale boční hrany (c) a plochý úhel v jejím vrcholu (α) jsou dány. Pak se má použít tento vzorec k výpočtu boční plochy pyramidy:
S=n/2in2 sin α.
Problém 1
Stav. Najděte celkovou plochu pyramidy, pokud je její základna rovnostranný trojúhelník o straně 4 cm a apotém je √3 cm.
Rozhodnutí. JehoMusíte začít výpočtem obvodu základny. Protože se jedná o pravidelný trojúhelník, pak P \u003d 34 \u003d 12 cm. Protože je známá apotéma, můžete okamžitě vypočítat plochu celého bočního povrchu: ½12√3=6 √3 cm 2.
Pro trojúhelník na základně získáte následující hodnotu plochy: (42√3) / 4=4√3 cm2.
K určení celkové plochy je třeba sečíst dvě výsledné hodnoty: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Odpověz. 10√3cm2.
Problém 2
Stav. Je zde pravidelný čtyřboký jehlan. Délka strany základny je 7 mm, boční hrana je 16 mm. Musíte znát jeho povrch.
Rozhodnutí. Protože je mnohostěn čtyřúhelníkový a pravidelný, je jeho základna čtverec. Po naučení oblastí základny a bočních ploch bude možné vypočítat plochu pyramidy. Vzorec pro čtverec je uveden výše. A na bočních stranách jsou známy všechny strany trojúhelníku. Proto můžete k výpočtu jejich ploch použít Heronův vzorec.
První výpočty jsou jednoduché a vedou k tomuto číslu: 49 mm2. Pro druhou hodnotu budete muset vypočítat poloobvod: (7 + 162): 2=19,5 mm. Nyní můžete vypočítat obsah rovnoramenného trojúhelníku: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)2)=√2985,9375=54,644 mm 2. Existují pouze čtyři takové trojúhelníky, takže při výpočtu konečného čísla jej budete muset vynásobit 4.
Ukazuje se: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Odpověď. Požadovaná hodnota 267,576mm2.
Problém 3
Stav. U pravidelného čtyřbokého jehlanu je třeba vypočítat plochu. Zná stranu čtverce - 6 cm a výšku - 4 cm.
Rozhodnutí. Nejjednodušší je použít vzorec se součinem obvodu a apotému. První hodnotu lze snadno najít. Druhá je o něco obtížnější.
Budeme si muset zapamatovat Pythagorovu větu a zvážit pravoúhlý trojúhelník. Je tvořena výškou pyramidy a apotémou, což je přepona. Druhá větev se rovná polovině strany čtverce, protože výška mnohostěnu spadá do jeho středu.
Požadovaná apotéma (přepona pravoúhlého trojúhelníku) je √(32 + 42)=5 (cm).
Nyní můžete vypočítat požadovanou hodnotu: ½(46)5+62=96 (viz2).
Odpověz. 96 cm2.
Problém 4
Stav. Daný pravidelný šestihranný jehlan. Strany jeho základny jsou 22 mm, boční žebra jsou 61 mm. Jaká je boční plocha tohoto mnohostěnu?
Rozhodnutí. Úvaha v ní je stejná, jako je popsána v problému č. 2. Pouze tam byla dána pyramida se čtvercem na základně a nyní je to šestiúhelník.
Za prvé, plocha základny se vypočítá pomocí výše uvedeného vzorce: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Nyní potřebujete zjistit půlobvod rovnoramenného trojúhelníku, což je boční plocha. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Zbývá vypočítat plochu každého takovéhotrojúhelník a poté jej vynásobte šesti a přidejte k tomu, který se ukázal jako základ.
Výpočet podle Heronova vzorce: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Výpočty, které poskytnou plochu bočního povrchu: 6606=3960 cm2. Zbývá je sečíst a zjistit celý povrch: 5217, 47≈5217 cm2.
Odpověz. Základna - 726√3cm2, boční plocha - 3960cm2, celková plocha - 5217cm2.
