Schopnost vypočítat objem prostorových obrazců je důležitá při řešení řady praktických problémů v geometrii. Jedním z nejběžnějších tvarů je pyramida. V tomto článku budeme zvažovat vzorce pro objem pyramidy, plné i zkrácené.
Pyramida jako trojrozměrná postava
Každý ví o egyptských pyramidách, takže má dobrou představu o tom, o jaké postavě se bude diskutovat. Egyptské kamenné stavby jsou však pouze zvláštním případem obrovské třídy pyramid.
Uvažovaným geometrickým objektem je v obecném případě polygonální základna, jejíž každý vrchol je připojen k nějakému bodu v prostoru, který nepatří do základní roviny. Tato definice vede k obrázku sestávajícímu z jednoho n-úhelníku a n trojúhelníků.
Jakýkoli jehlan se skládá z n+1 ploch, 2n hran a n+1 vrcholů. Protože uvažovaný obrazec je dokonalý mnohostěn, počty označených prvků se řídí Eulerovou rovností:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Mnohoúhelník na základně dává název pyramidy,například trojúhelníkový, pětiúhelníkový a tak dále. Sada pyramid s různými základnami je zobrazena na fotografii níže.
Bod, ve kterém je spojeno n trojúhelníků obrázku, se nazývá vrchol pyramidy. Pokud se z něj spustí kolmice k základně a ta ji protne v geometrickém středu, pak se takový obrazec nazývá přímka. Pokud tato podmínka není splněna, pak existuje nakloněná pyramida.
Přímý obrazec, jehož základna je tvořena rovnostranným (rovnoúhlým) n-úhelníkem, se nazývá pravidelný.
Vzorec pro objem pyramidy
Pro výpočet objemu pyramidy používáme integrální počet. Abychom to udělali, rozdělíme obrazec sečnými rovinami rovnoběžnými se základnou na nekonečný počet tenkých vrstev. Obrázek níže ukazuje čtyřboký jehlan s výškou h a délkou strany L, ve kterém je tenká vrstva řezu označena čtyřúhelníkem.
Plochu každé takové vrstvy lze vypočítat pomocí vzorce:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Zde A0 je plocha základny, z je hodnota vertikální souřadnice. Je vidět, že pokud z=0, pak vzorec dává hodnotu A0.
Abyste získali vzorec pro objem pyramidy, měli byste vypočítat integrál přes celou výšku postavy, to znamená:
V=∫h0(A(z)dz).
Dosazením závislosti A(z) a výpočtem primitivní derivace dospějeme k výrazu:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Máme vzorec pro objem pyramidy. Chcete-li zjistit hodnotu V, stačí vynásobit výšku postavy plochou základny a poté vydělit výsledek třemi.
Všimněte si, že výsledný výraz je platný pro výpočet objemu jehlanu libovolného typu. To znamená, že může být nakloněný a jeho základna může být libovolný n-úhelník.
Správná pyramida a její objem
Obecný vzorec pro objem získaný v odstavci výše lze upřesnit v případě pyramidy se správnou základnou. Plocha takové základny se vypočítá pomocí následujícího vzorce:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Zde L je délka strany pravidelného mnohoúhelníku s n vrcholy. Symbol pí je číslo pí.
Dosazením výrazu za A0 do obecného vzorce dostaneme objem pravidelné pyramidy:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Například pro trojúhelníkovou pyramidu tento vzorec vede k následujícímu výrazu:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
U pravidelného čtyřbokého jehlanu se objemový vzorec změní na:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Určení objemu pravidelných pyramid vyžaduje znát stranu jejich základny a výšku postavy.
Zkrácená pyramida
Předpokládejme, že jsme vzalilibovolný jehlan a odřízněte část jeho boční plochy obsahující vrchol. Zbývající postava se nazývá komolá pyramida. Skládá se již ze dvou n-gonálních základen a n lichoběžníků, které je spojují. Pokud byla řezná rovina rovnoběžná se základnou obrázku, pak je vytvořen komolý jehlan s paralelními podobnými základnami. To znamená, že délky stran jedné z nich lze získat vynásobením délek té druhé nějakým koeficientem k.
Obrázek nahoře ukazuje komolý pravidelný šestihranný jehlan. Je vidět, že jeho horní základna, stejně jako spodní, je tvořena pravidelným šestiúhelníkem.
Vzorec pro objem komolého jehlanu, který lze odvodit pomocí integrálního počtu podobného uvedenému, je:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Kde A0 a A1 jsou oblasti spodní (velké) a horní (malé) báze. Proměnná h je výška komolého jehlanu.
Objem Cheopsovy pyramidy
Je zajímavé vyřešit problém určení objemu, který největší egyptská pyramida uvnitř obsahuje.
V roce 1984 britští egyptologové Mark Lehner a Jon Goodman stanovili přesné rozměry Cheopsovy pyramidy. Jeho původní výška byla 146,50 metrů (v současnosti asi 137 metrů). Průměrná délka každé ze čtyř stran konstrukce byla 230,363 metru. Základna pyramidy je čtvercová s vysokou přesností.
Pomocí daných čísel určíme objem tohoto kamenného obra. Protože je pyramida pravidelným čtyřúhelníkem, platí pro ni vzorec:
V4=1/3L2h.
Dosaďte čísla, dostaneme:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Objem Cheopsovy pyramidy je téměř 2,6 milionu m3. Pro srovnání podotýkáme, že olympijský bazén má objem 2,5 tisíce m3. To znamená, že k naplnění celé Cheopsovy pyramidy bude potřeba více než 1000 těchto zásob!
