Abyste pochopili, jaké jsou extrémní body funkce, není vůbec nutné vědět o přítomnosti první a druhé derivace a rozumět jejich fyzikálnímu významu. Nejprve musíte pochopit následující:
- extrémy funkce maximalizují nebo naopak minimalizují hodnotu funkce v libovolně malém okolí;
- V extrémním bodě by nemělo dojít k přerušení funkce.
A teď to samé, jen v jednoduchém jazyce. Podívejte se na špičku kuličkového pera. Pokud je pero umístěno svisle, s koncem pro psaní nahoru, pak bude krajním bodem – nejvyšším bodem – samotný střed koule. V tomto případě se bavíme o maximu. Nyní, když otočíte pero psacím koncem dolů, pak uprostřed kuličky již bude minimum funkcí. S pomocí zde uvedeného obrázku si můžete představit uvedené manipulace pro psací tužku. Takže extrémy funkce jsou vždy kritické body: její maxima nebo minima. Sousední část grafu může být libovolně ostrá nebo hladká, ale musí existovat na obou stranách, pouze v tomto případě je bod extrémem. Pokud je graf přítomen pouze na jedné straně, nebude tento bod extrémem, i když na jedné stranějsou splněny extrémní podmínky. Nyní pojďme studovat extrémy funkce z vědeckého hlediska. Aby byl bod považován za extrém, je nutné a postačující, aby:
- první derivace byla rovna nule nebo v daném bodě neexistovala;
- první derivace v tomto bodě změnila své znaménko.
Podmínka je z pohledu derivací vyšších řádů interpretována poněkud odlišně: pro funkci diferencovatelnou v bodě postačí, že existuje derivace lichého řádu, která není rovna nule, zatímco všechny deriváty nižšího řádu musí existovat a musí se rovnat nule. Jde o nejjednodušší výklad vět z učebnic vyšší matematiky. Ale pro ty nejobyčejnější lidi stojí za to vysvětlit tento bod na příkladu. Základem je obyčejná parabola. Okamžitě proveďte rezervaci, v nulovém bodě má minimum. Jen trochu matematiky:
- první derivace (X2)|=2X, pro nulový bod 2X=0;
- druhá derivace (2X)|=2, pro nulový bod 2=2.
Toto je jednoduchá ilustrace podmínek, které určují extrémy funkce jak pro derivace prvního řádu, tak pro derivace vyššího řádu. K tomu můžeme přidat, že druhá derivace je právě ta samá derivace lichého řádu, nerovná nule, o které se mluvilo trochu výše. Pokud jde o extrémy funkce dvou proměnných, musí být splněny podmínky pro oba argumenty. Kdyždojde k zobecnění, pak se použijí parciální derivace. To znamená, že pro přítomnost extrému v bodě je nutné, aby se obě derivace prvního řádu rovnaly nule, nebo alespoň jedna z nich neexistovala. Pro dostatečnost přítomnosti extrému se zkoumá výraz, který je rozdílem součinu derivací 2. řádu a druhé mocniny smíšené derivace 2. řádu funkce. Pokud je tento výraz větší než nula, pak existuje extrém, a pokud je nula, pak otázka zůstává otevřená a je zapotřebí další výzkum.
