Číselné systémy – co to je? I bez znalosti odpovědi na tuto otázku každý z nás ve svém životě nedobrovolně používá číselné soustavy a netuší to. Správně, množné číslo! Tedy ne jeden, ale hned několik. Než uvedeme příklady nepozičních číselných soustav, pochopme tento problém, pojďme si také promluvit o pozičních soustavách.
Potřebná faktura
Od pradávna měli lidé potřebu počítat, to znamená, že si intuitivně uvědomovali, že potřebují nějak vyjádřit kvantitativní vidění věcí a událostí. Mozek navrhl, že je nutné používat předměty k počítání. Prsty byly vždy nejpohodlnější, a to je pochopitelné, protože jsou vždy k dispozici (až na vzácné výjimky).
Starověcí zástupci lidské rasy tedy museli ohýbat prsty v doslovném smyslu – například pro označení počtu zabitých mamutů. Takové prvky účtu ještě neměly názvy, ale pouze vizuální obrázek, srovnání.
Moderní poziční číselné systémy
Číselný systém je metoda (způsob) reprezentace kvantitativních hodnot a veličin pomocí určitých znaků (symboly nebo písmena).
Před uvedením příkladů nepozičních číselných soustav je nutné pochopit, co je poziční a nepoziční v počítání. Existuje mnoho pozičních číselných soustav. Nyní se v různých oblastech znalostí používají následující: binární (obsahuje pouze dva významné prvky: 0 a 1), hexadecimální (počet znaků - 6), osmičkové (znaky - 8), duodecimální (dvanáct znaků), šestnáctkové (obsahuje šestnáct znaky). Navíc každý řádek znaků v systémech začíná od nuly. Moderní počítačové technologie jsou založeny na použití binárních kódů - binárního pozičního číselného systému.
Systém desítkových čísel
Pozicionalita je přítomnost významných pozic v různé míře, na kterých se nacházejí znaménka čísla. To lze nejlépe demonstrovat na příkladu desítkové číselné soustavy. Ostatně jsme na jeho používání zvyklí z dětství. V tomto systému je deset znaků: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Vezměte si číslo 327. Má tři znaky: 3, 2, 7. Každé z nich se nachází v svou vlastní pozici (místo). Sedmička zaujímá pozici vyhrazenou pro jednotlivé hodnoty (jednotky), dvě - desítky a tři - stovky. Protože je číslo třímístné, jsou v něm pouze tři pozice.
Na základě výše uvedeného, tototřímístné desetinné číslo lze popsat takto: tři stovky, dvě desítky a sedm jednotek. Navíc se význam (důležitost) pozic počítá zleva doprava, od slabé pozice (jedna) po silnější (stovky).
Cítíme se velmi dobře v desítkové soustavě pozičních čísel. Na rukou máme deset prstů a na nohou to samé. Pět plus pět – tak si díky prstům snadno představíme desítku z dětství. Proto je pro děti snadné naučit se násobilku pro pět a deset. A také je tak snadné se naučit počítat bankovky, které jsou nejčastěji násobky (tedy dělené beze zbytku) pěti a deseti.
Jiné poziční číselné soustavy
K překvapení mnohých by se mělo říci, že nejen v systému desítkového počítání je náš mozek zvyklý provádět nějaké výpočty. Až dosud lidstvo používalo šest a duodecimální číselné soustavy. To znamená, že v takovém systému je pouze šest znaků (v šestnáctkové soustavě): 0, 1, 2, 3, 4, 5. V duodecimální soustavě jich je dvanáct: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, kde A - označuje číslo 10, B - číslo 11 (protože znaménko musí být jedna).
Posuďte sami. Počítáme čas do šesti, ne? Jedna hodina je šedesát minut (šest desítek), jeden den je dvacet čtyři hodin (dvakrát dvanáct), rok je dvanáct měsíců a tak dále… Všechny časové intervaly se snadno vejdou do šesti a duodecimálních řad. Ale už jsme si na to tak zvykli, že na to při počítání času ani nemyslíme.
Nepoziční číselné soustavy. Unární
Je nutné definovat, co to je - nepoziční číselná soustava. Jedná se o takový znakový systém, ve kterém neexistují pozice pro znaménka čísla, nebo princip „čtení“čísla nezávisí na pozici. Má také svá vlastní pravidla pro psaní nebo počítání.
Uveďme příklady nepozičních číselných soustav. Vraťme se do antiky. Lidé potřebovali účet a přišli s nejjednodušším vynálezem – uzly. Nepoziční číselná soustava je nodulární. Jeden předmět (pytel rýže, býk, kupka sena atd.) byl započítán např. při nákupu nebo prodeji a uvázal se uzel na provázku.
Výsledkem bylo, že se na laně udělalo tolik uzlů, kolik bylo nakoupeno pytlů rýže (jako příklad). Ale také to mohou být zářezy na dřevěné tyči, na kamenné desce atd. Takový číselný systém se stal známým jako nodulární. Má druhé jméno - jednočlenné nebo svobodné ("uno" v latině znamená "jedna").
Je zřejmé, že tato číselná soustava je nepoziční. Vždyť o jakých pozicích se můžeme bavit, když je (ta pozice) jen jedna! Kupodivu se v některých částech Země stále používá unární nepoziční číselný systém.
Nepoziční číselné systémy také zahrnují:
- Roman (písmena se používají k psaní číslic - latinské znaky);
- starověká egyptština (podobně jako římské, byly použity i symboly);
- abecední (byla použita písmena abecedy);
- Babylonština (klínové písmo - používá se přímé aobrácený "klín");
- Řečtina (také označovaná jako abeceda).
Římská číselná soustava
Starověká římská říše, stejně jako její věda, byla velmi pokroková. Římané dali světu mnoho užitečných vynálezů vědy a umění, včetně jejich systému počítání. Před dvěma sty lety se k označení částek v obchodních dokumentech používaly římské číslice (takže bylo zabráněno padělání).
Římské číslování je příkladem nepoziční číselné soustavy, nyní to víme. Také římský systém se aktivně používá, ale ne pro matematické výpočty, ale pro úzce zaměřené akce. Například pomocí římských čísel je obvyklé označovat historická data, století, čísla svazků, oddíly a kapitoly v knižních publikacích. Římské znaky se často používají k ozdobení číselníků hodinek. A také římské číslování je příkladem nepoziční číselné soustavy.
Římané označovali čísla latinskými písmeny. Čísla navíc zapisovali podle určitých pravidel. V systému římských číslic existuje seznam klíčových symbolů, s jejichž pomocí byla zapsána všechna čísla bez výjimky.
| Číslo (desítkové) | Římské číslo (písmeno latinské abecedy) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Pravidla pro skládání čísel
Požadovaný počet byl získán sečtením znaků (latinských písmen) a výpočtem jejich součtu. Uvažujme, jak se znaky symbolicky zapisují v římském systému a jak by se měly „číst“. Pojďme si vyjmenovat hlavní zákony tvorby čísel v římské nepoziční číselné soustavě.
- Číslo čtyři - IV se skládá ze dvou znaků (I, V - jedna a pět). Získá se odečtením menšího znaménka od většího, pokud je vlevo. Když je menší znak umístěn vpravo, musíte přidat, pak dostanete číslo šest - VI.
- Je nutné přidat dva stejné znaky vedle sebe. Například: SS je 200 (C je 100) nebo XX je 20.
- Pokud je první znak čísla menší než druhý, může být třetím znakem v tomto řádku znak, jehož hodnota je ještě menší než první. Aby nedošlo k záměně, zde je příklad: CDX - 410 (v desítkové soustavě).
- Některá velká čísla mohou být reprezentována různými způsoby, což je jedna z nevýhod římského systému počítání. Zde je několik příkladů: MVM (římské)=1000 + (1000 - 5)=1995 (desítkové) nebo MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. A to není vše.
Aritmetické triky
Nepoziční číselná soustava je někdy složitý soubor pravidel pro tvorbu čísel, jejich zpracování (akce na ně). Aritmetické operace v nepozičních číselných soustavách nejsou jednoduchépro moderní lidi. Nezávidíme starořímským matematikům!
Příklad přidání. Zkusme sečíst dvě čísla: XIX + XXVI=XXXV, tento úkol se provádí ve dvou krocích:
- Nejprve – vezměte a sečtěte menší zlomky čísel: IX + VI=XV (já po V a já před X se navzájem „ničí“).
- Druhý – přidejte velké zlomky dvou čísel: X + XX=XXX.
Odčítání je poněkud složitější. Číslo, které má být redukováno, musí být rozděleno na jeho základní prvky a potom duplikované znaky, které mají být redukovány v počtu, který má být redukován a odečten. Odečíst 263 od 500:
D – CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIIII – CCLXIII=CCXXXVII.
Násobení římskými číslicemi. Mimochodem, je nutné zmínit, že Římané neměli znaky aritmetických operací, pouze je označovali slovy.
Vícenásobné číslo muselo být vynásobeno každým jednotlivým symbolem násobitele, což vedlo k několika produktům, které bylo nutné přidat. Takto se násobí polynomy.
Pokud jde o dělení, tento proces v římské číselné soustavě byl a zůstává nejobtížnější. Bylo zde použito starořímské počítadlo. Pro práci s ním byli lidé speciálně vyškoleni (a ne každému se podařilo zvládnout takovou vědu).
O nevýhodách nepolohových systémů
Jak bylo uvedeno výše, nepoziční číselné systémy mají své nevýhody, nepříjemnosti při používání. Unární je dostatečně jednoduchý pro jednoduché počítání, ale pro aritmetické a složité výpočty nenídost dobrý.
V římském jazyce neexistují jednotná pravidla pro tvoření velkých čísel a vzniká zmatek a také je velmi obtížné v něm provádět výpočty. Také největší číslo, které mohli staří Římané pomocí své metody zapsat, bylo 100 000.
