Georg Kantor (foto je uvedeno dále v článku) je německý matematik, který vytvořil teorii množin a zavedl koncept transfinitních čísel, nekonečně velkých, ale navzájem odlišných. Definoval také ordinální a kardinální čísla a vytvořil jejich aritmetiku.
Georg Kantor: krátká biografie
Narozen v Petrohradě dne 3. 3. 1845. Jeho otcem byl Dán protestantského vyznání Georg-Valdemar Kantor, který se zabýval obchodem, mimo jiné na burze. Jeho matka Maria Bem byla katolička a pocházela z rodiny významných hudebníků. Když Georgův otec v roce 1856 onemocněl, rodina se přestěhovala nejprve do Wiesbadenu a poté do Frankfurtu, kde hledala mírnější klima. Chlapcovo matematické nadání se projevilo ještě před jeho 15. narozeninami při studiu na soukromých školách a gymnáziích v Darmstadtu a Wiesbadenu. Nakonec Georg Cantor přesvědčil svého otce o svém pevném úmyslu stát se matematikem, nikoli inženýrem.
Po krátkém studiu na univerzitě v Curychu přešel Kantor v roce 1863 na univerzitu v Berlíně, aby zde studoval fyziku, filozofii a matematiku. Tady houčil:
- Karl Theodor Weierstrass, jehož specializace na analýzu měla na Georga pravděpodobně největší vliv;
- Ernst Eduard Kummer, který vyučoval vyšší aritmetiku;
- Leopold Kronecker, teoretik čísel, který později oponoval Cantorovi.
Po jednom semestru stráveném na univerzitě v Göttingenu v roce 1866, následující rok Georg napsal svou doktorskou práci nazvanou „V matematice je umění klást otázky cennější než řešit problémy“, týkající se problému, který měl Carl Friedrich Gauss. zůstal nevyřešen v jeho Disquisitiones Arithmeticae (1801). Po krátkém vyučování na Berlínské dívčí škole začal Kantor pracovat na univerzitě v Halle, kde zůstal až do konce svého života, nejprve jako učitel, od roku 1872 jako odborný asistent a od roku 1879 jako profesor.
Výzkum
Na začátku série 10 prací z let 1869 až 1873 se Georg Cantor zabýval teorií čísel. Práce odrážela jeho vášeň pro toto téma, jeho studia Gausse a vliv Kroneckera. Na návrh Heinricha Eduarda Heineho, Cantorova kolegy v Halle, který rozpoznal jeho matematický talent, se obrátil k teorii trigonometrických řad, ve které rozšířil pojem reálných čísel.
Na základě práce německého matematika Bernharda Riemanna o funkci komplexní proměnné v roce 1854 Kantor v roce 1870 ukázal, že taková funkce může být reprezentována pouze jedním způsobem - trigonometrickými řadami. Úvaha o množině čísel (bodů), kteráby takovému názoru neodporovalo, přivedl jej v roce 1872 jednak k definici iracionálních čísel z hlediska konvergentních posloupností racionálních čísel (zlomků celých čísel) a dále k zahájení práce na jeho celoživotním díle, teorii množin a konceptu transfinitních čísel.
Teorie množin
Georg Cantor, jehož teorie množin vznikla v korespondenci s matematikem Technického institutu v Braunschweigu Richardem Dedekindem, byl jeho přítelem od dětství. Došli k závěru, že množiny, ať už konečné nebo nekonečné, jsou soubory prvků (např. čísla, {0, ±1, ±2…}), které mají určitou vlastnost a přitom si zachovávají svou individualitu. Ale když Georg Cantor použil individuální korespondenci (například {A, B, C} až {1, 2, 3}) ke studiu jejich charakteristik, rychle si uvědomil, že se liší stupněm členství, dokonce pokud by šlo o nekonečné množiny, tj. množiny, jejichž část nebo podmnožina zahrnuje tolik objektů jako ona sama. Jeho metoda brzy poskytla úžasné výsledky.
V roce 1873 Georg Cantor (matematik) ukázal, že racionální čísla, i když jsou nekonečná, jsou spočetná, protože je lze dát do vzájemné korespondence s přirozenými čísly (tj. 1, 2, 3 atd.). d.). Ukázal, že množina reálných čísel, skládající se z iracionálních a racionálních, je nekonečná a nepočitatelná. Paradoxněji Cantor dokázal, že množina všech algebraických čísel obsahuje tolik prvků, kolik jekolik je množina všech celých čísel a že transcendentální čísla, která nejsou algebraická, která jsou podmnožinou iracionálních čísel, jsou nespočítatelná, a proto je jejich počet větší než celá čísla a měla by být považována za nekonečná.
Odpůrci a podporovatelé
Kantorův článek, ve kterém tyto výsledky poprvé předložil, však nebyl publikován v Krell, protože jeden z recenzentů, Kronecker, byl vehementně proti. Ale po zásahu Dedekinda byla vydána v roce 1874 pod názvem "O charakteristických vlastnostech všech reálných algebraických čísel."
Věda a soukromý život
Téhož roku, na líbánkách se svou ženou Wally Gutman ve švýcarském Interlakenu, Kantor potkal Dedekinda, který se příznivě vyjádřil o jeho nové teorii. Georgeův plat byl malý, ale za peníze svého otce, který zemřel v roce 1863, postavil dům pro svou ženu a pět dětí. Mnoho z jeho prací bylo publikováno ve Švédsku v novém časopise Acta Mathematica, který editoval a založil Gesta Mittag-Leffler, který byl mezi prvními, kdo rozpoznal talent německého matematika.
Spojení s metafyzikou
Cantorova teorie se stala zcela novým předmětem studia matematiky nekonečna (např. řady 1, 2, 3 atd. a složitějších množin), které silně závisely na vzájemné korespondenci. Kantorův vývoj nových inscenačních metodotázky týkající se kontinuity a nekonečna daly jeho výzkumu nejednoznačný charakter.
Když tvrdil, že nekonečná čísla skutečně existují, obrátil se ke starověké a středověké filozofii týkající se skutečného a potenciálního nekonečna a také k ranému náboženskému vzdělání, které mu dali jeho rodiče. V roce 1883 Kantor ve své knize Základy obecné teorie množin spojil svůj koncept s Platónovou metafyzikou.
Kronecker, který tvrdil, že „existují“pouze celá čísla („Bůh stvořil celá čísla, zbytek je dílem člověka“), po mnoho let své úvahy vehementně odmítal a bránil svému jmenování na Berlínskou univerzitu.
Přestupná čísla
V letech 1895-97. Georg Cantor plně zformoval svou představu o spojitosti a nekonečnu, včetně nekonečných řadových a kardinálních čísel, ve svém nejslavnějším díle, publikovaném jako Příspěvky k založení teorie transfinitních čísel (1915). Tato esej obsahuje jeho koncept, ke kterému ho přivedlo předvedení, že nekonečnou množinu lze dát do vzájemné korespondence s jednou z jejích podmnožin.
Pod nejméně transfinitním kardinálním číslem měl na mysli mohutnost jakékoli množiny, kterou lze dát do vzájemné korespondence s přirozenými čísly. Cantor tomu říkal aleph-null. Velké transfinitní množiny se označují aleph-jedna, aleph-dvě atd. Dále rozvinul aritmetiku transfinitních čísel, která byla obdobou konečné aritmetiky. takže onobohatil koncept nekonečna.
Opozice, které čelil, a doba, kterou trvalo, než byly jeho myšlenky plně přijaty, jsou způsobeny obtížným přehodnocením prastaré otázky, co je to číslo. Cantor ukázal, že množina bodů na přímce má vyšší mohutnost než aleph-nula. To vedlo ke známému problému hypotézy kontinua – mezi aleph-nulou a mocninou bodů na přímce nejsou žádná kardinální čísla. Tento problém v první a druhé polovině 20. století vzbudil velký zájem a byl studován mnoha matematiky, včetně Kurta Gödela a Paula Cohena.
Deprese
Životopis Georga Kantora od roku 1884 byl zastíněn jeho duševní chorobou, ale nadále aktivně pracoval. V roce 1897 pomohl uspořádat první mezinárodní matematický kongres v Curychu. Částečně proto, že byl proti Kroneckerovi, často sympatizoval s mladými začínajícími matematiky a snažil se najít způsob, jak je zachránit před pronásledováním učitelů, kteří se cítili ohroženi novými nápady.
Uznání
Na přelomu století byla jeho práce plně uznána jako základ pro teorii funkcí, analýzu a topologii. Knihy Cantora Georga navíc posloužily jako impuls pro další rozvoj intuicionistických a formalistických škol logických základů matematiky. To výrazně změnilo systém výuky a je často spojováno s „novou matematikou“.
V roce 1911 byl Kantor mezi pozvanýmioslava 500. výročí University of St. Andrews ve Skotsku. Šel tam v naději, že se setká s Bertrandem Russellem, který se ve svém nedávno vydaném díle Principia Mathematica opakovaně odvolával na německého matematika, ale nestalo se tak. Univerzita udělila Kantorovi čestný titul, ale kvůli nemoci nemohl cenu převzít osobně.
Kantor odešel v roce 1913 do důchodu, žil v chudobě a během první světové války hladověl. Oslavy na počest jeho 70. narozenin v roce 1915 byly kvůli válce zrušeny, ale u něj doma proběhla malá ceremonie. Zemřel 1.6.1918 v Halle, v psychiatrické léčebně, kde strávil poslední roky svého života.
Georg Kantor: biografie. Rodina
9. srpna 1874 se německý matematik oženil s Wally Gutmannem. Pár měl 4 syny a 2 dcery. Poslední dítě se narodilo v roce 1886 v novém domě, který koupil Kantor. Dědictví po otci mu pomohlo uživit rodinu. Kantorovo zdraví bylo velmi ovlivněno smrtí jeho nejmladšího syna v roce 1899 a deprese ho od té doby neopustila.
