Matematická analýza je pro mnoho lidí jen souborem nesrozumitelných čísel, ikon a definic, které jsou na hony vzdálené skutečnému životu. Svět, ve kterém existujeme, je však postaven na číselných vzorcích, jejichž identifikace pomáhá nejen poznávat svět kolem nás a řešit jeho složité problémy, ale také zjednodušovat každodenní praktické úkoly. Co myslí matematik, když říká, že číselná posloupnost konverguje? Toto by mělo být probráno podrobněji.
Co je nekonečně malé?
Představme si matrjošky, které pasují jedna do druhé. Jejich velikosti, zapsané ve formě čísel, počínaje největším a konče nejmenším z nich, tvoří posloupnost. Pokud si představíte nekonečné množství takových světlých obrazců, pak bude výsledná řada fantasticky dlouhá. Toto je konvergentní číselná posloupnost. A má tendenci k nule, protože velikost každé další hnízdící panenky, katastroficky se zmenšující, se postupně promění v nic. Takže je to snadnélze vysvětlit: co je nekonečně malé.
Podobným příkladem by byla silnice vedoucí do dálky. A vizuální rozměry auta, které se po něm vzdaluje od pozorovatele, se postupně zmenšuje v beztvarou skvrnu připomínající tečku. Tím se stroj, stejně jako objekt, pohybující se neznámým směrem, stává nekonečně malým. Parametry zadaného těla nebudou nikdy nulové v doslovném slova smyslu, ale v konečném limitu budou vždy směřovat k této hodnotě. Proto tato sekvence opět konverguje k nule.
Spočítat vše po kapkách
Představme si nyní světskou situaci. Lékař předepsal pacientovi, aby lék užíval, začínal s deseti kapkami denně a přidal dvě každý další den. A tak lékař navrhl pokračovat, dokud nedojde obsah lahvičky s lékem, jehož objem je 190 kapek. Z výše uvedeného vyplývá, že počet takových, plánovaných po dnech, bude následující číselná řada: 10, 12, 14 atd.
Jak zjistit čas na dokončení celého kurzu a počet členů sekvence? Zde lze samozřejmě počítat kapky primitivním způsobem. Mnohem jednodušší je ale vzhledem ke vzoru použít vzorec pro součet aritmetické posloupnosti s krokem d=2. A pomocí této metody zjistit, že počet členů číselné řady je 10. V tomto případě, a10=28. Číslo penisu udává počet dní užívání léku a 28 odpovídá počtu kapek, které by pacient mělpoužít poslední den. Konverguje tato posloupnost? Ne, protože i když je omezena na 10 zdola a 28 shora, taková číselná řada nemá na rozdíl od předchozích příkladů žádné omezení.
Jaký je rozdíl?
Zkusme si nyní ujasnit: kdy se číselná řada ukáže jako konvergentní posloupnost. Definice tohoto druhu, jak lze z výše uvedeného usuzovat, přímo souvisí s pojmem konečné limity, jejíž přítomnost odhaluje podstatu problému. Jaký je tedy zásadní rozdíl mezi dříve uvedenými příklady? A proč v posledním z nich nelze číslo 28 považovat za limit číselné řady X =10 + 2(n-1)?
Abyste tuto otázku objasnili, zvažte jinou posloupnost danou vzorcem níže, kde n patří do množiny přirozených čísel.
Tato komunita členů je soubor společných zlomků, jejichž čitatel je 1 a jmenovatel se neustále zvyšuje: 1, ½ …
Navíc se každý následující zástupce této řady umístěním na číselné ose stále více blíží 0. A to znamená, že se objeví takové okolí, kde se body shlukují kolem nuly, což je limit. A čím blíže k němu jsou, tím je jejich koncentrace na číselné ose hustší. A vzdálenost mezi nimi se katastrofálně zmenší a změní se v nekonečně malou. To je známkou toho, že sekvence konverguje.
PodobnéTudíž vícebarevné obdélníky zobrazené na obrázku, když se vzdalují v prostoru, jsou vizuálně více přeplněné a v hypotetickém limitu se mění v zanedbatelné.
Nekonečně velké sekvence
Po analýze definice konvergentní posloupnosti přejděme k protipříkladům. Mnohé z nich zná člověk již od starověku. Nejjednoduššími variantami divergentních posloupností jsou řady přirozených a sudých čísel. Jiným způsobem se jim říká nekonečně velké, protože jejich členy, které neustále přibývají, se stále více blíží kladnému nekonečnu.
Příkladem takového může být také kterákoli z aritmetických a geometrických posloupností s krokem a jmenovatelem větším než nula. Číselné řady jsou navíc považovány za divergentní posloupnosti, které nemají vůbec limitu. Například X =(-2) -1.
Fibonacciho sekvence
Praktický přínos výše zmíněné číselné řady pro lidstvo je nepopiratelný. Ale existuje nespočet dalších skvělých příkladů. Jedním z nich je Fibonacciho posloupnost. Každý z jejích členů, který začíná jedničkou, je součtem předchozích. Jeho první dva zástupci jsou 1 a 1. Třetí 1+1=2, čtvrtý 1+2=3, pátý 2+3=5. Dále, podle stejné logiky, následují čísla 8, 13, 21 a tak dále.
Tato řada čísel se neomezeně zvyšuje a nemá žádnékonečný limit. Má ale ještě jednu úžasnou vlastnost. Poměr každého předchozího čísla k následujícímu se svou hodnotou stále více přibližuje k 0,618. Zde můžete pochopit rozdíl mezi konvergentní a divergentní posloupností, protože pokud uděláte řadu přijatých částečných dělení, naznačený číselný systém bude mít konečný limit rovný 0,618.
Posloupnost Fibonacciho poměrů
Výše uvedená číselná řada se široce používá pro praktické účely pro technickou analýzu trhů. To se ale neomezuje pouze na jeho schopnosti, které Egypťané a Řekové znali a ve starověku dokázali uvést do praxe. Dokazují to pyramidy, které postavili, a Parthenon. Ostatně číslo 0,618 je konstantní koeficient zlatého řezu, dobře známý za starých časů. Podle tohoto pravidla lze rozdělit libovolný segment tak, že poměr mezi jeho částmi bude shodný s poměrem mezi největším ze segmentů a celkovou délkou.
Pojďme sestavit řadu naznačených vztahů a pokusme se analyzovat tuto sekvenci. Číselná řada bude následující: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 a tak dále. Pokud budeme takto pokračovat, můžeme se ujistit, že limita konvergentní posloupnosti bude skutečně 0,618. Je však nutné poznamenat i další vlastnosti této pravidelnosti. Zde se zdá, že čísla jdou náhodně a vůbec ne ve vzestupném nebo sestupném pořadí. To znamená, že tato konvergentní posloupnost není monotónní. Proč tomu tak je, bude diskutováno dále.
Monotónnost a omezení
Členové číselné řady se mohou s rostoucím počtem zřetelně snižovat (pokud x1>x2>x3>…>x >…) nebo rostoucí (pokud x1<x216323<…<x <…). V tomto případě se říká, že sekvence je přísně monotónní. Lze pozorovat i další vzorce, kdy číselná řada bude neklesající a nerostoucí (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… nebo x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), pak je postupně konvergentní také monotónní, jen ne v užším slova smyslu. Dobrým příkladem první z těchto možností je číselná řada daná následujícím vzorcem.
Po nakreslení čísel této série můžete vidět, že žádný z jejích členů, neomezeně se blíží 1, tuto hodnotu nikdy nepřekročí. V tomto případě se o konvergentní posloupnosti říká, že je omezená. To se stane vždy, když existuje takové kladné číslo M, které je vždy větší než kterýkoli z členů řady modulo. Pokud má číselná řada znaky monotónnosti a má limitu, a tedy konverguje, pak je nutně takovou vlastností obdařena. A opak nemusí být pravdou. To je dokázáno teorémem omezenosti pro konvergentní posloupnost.
Použití takových pozorování v praxi je velmi užitečné. Uveďme konkrétní příklad zkoumáním vlastností posloupnosti X =n/n+1 a dokažte jeho konvergenci. Je snadné ukázat, že je monotónní, protože (x +1 – x) je kladné číslo pro libovolné n hodnoty. Limita posloupnosti je rovna číslu 1, což znamená, že jsou splněny všechny podmínky výše uvedené věty, nazývané také Weierstrassova věta. Věta o omezenosti konvergentní posloupnosti říká, že pokud má limitu, pak se v každém případě ukáže, že je omezená. Vezměme si však následující příklad. Číselná řada X =(-1) je ohraničena zdola -1 a shora 1. Tato posloupnost však není monotónní, nemá limit, a proto nekonverguje. To znamená, že existence limity a konvergence ne vždy vyplývá z limitace. Aby to fungovalo, musí se spodní a horní limit shodovat, jako v případě Fibonacciho poměrů.
Čísla a zákony vesmíru
Nejjednodušší varianty konvergentní a divergentní posloupnosti jsou snad číselné řady X =n a X =1/n. První z nich je přirozená řada čísel. Je, jak již bylo řečeno, nekonečně velký. Druhá konvergentní posloupnost je omezená a její členy se co do velikosti blíží nekonečně malým. Každý z těchto vzorců zosobňuje jednu ze stran mnohostranného Vesmíru a pomáhá člověku představit si a vypočítat něco nepoznatelného, nepřístupného omezenému vnímání v řeči čísel a znaků.
Zákony vesmíru, od zanedbatelných po neuvěřitelně velké, také vyjadřují zlatý řez 0,618. Vědcivěří, že je základem podstaty věcí a je přírodou využívána k utváření jejích částí. Vztahy mezi dalším a předchozími členy Fibonacciho řady, o kterých jsme se již zmínili, neucelují ukázku úžasných vlastností této unikátní řady. Pokud uvážíme kvocient dělení předchozího členu následujícím členem jedním, dostaneme řadu 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 a tak dále. Je zajímavé, že tato omezená posloupnost konverguje, není monotónní, ale poměr sousedních extrémů od určitého členu je vždy přibližně roven 0,382, což lze využít i v architektuře, technické analýze a dalších odvětvích.
Existují další zajímavé koeficienty Fibonacciho řady, všechny hrají v přírodě zvláštní roli a člověk je také používá pro praktické účely. Matematici jsou si jisti, že vesmír se vyvíjí podle určité "zlaté spirály", vytvořené z uvedených koeficientů. S jejich pomocí je možné vypočítat mnoho jevů vyskytujících se na Zemi i ve vesmíru, od růstu počtu určitých bakterií až po pohyb vzdálených komet. Jak se ukázalo, kód DNA se řídí podobnými zákony.
Pokles geometrického postupu
Existuje věta, která tvrdí jednoznačnost limity konvergentní posloupnosti. To znamená, že nemůže mít dvě nebo více limit, což je nepochybně důležité pro nalezení jeho matematických charakteristik.
Pojďme se na některé podívatpřípady. Jakákoli číselná řada složená z členů aritmetické progrese je divergentní, s výjimkou případu s nulovým krokem. Totéž platí pro geometrickou posloupnost, jejíž jmenovatel je větší než 1. Limity takové číselné řady jsou „plus“nebo „mínus“nekonečna. Pokud je jmenovatel menší než -1, pak není žádný limit. Jiné možnosti jsou možné.
Uvažujte číselnou řadu danou vzorcem X =(1/4) -1. Na první pohled je snadné vidět, že tato konvergentní posloupnost je omezená, protože je přísně klesající a v žádném případě nemůže nabývat záporných hodnot.
Napišme počet jejích členů za sebou.
Vyjde to: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 a tak dále. Docela jednoduché výpočty stačí k pochopení toho, jak rychle tato geometrická progrese klesá od jmenovatelů 0<q<1. Zatímco jmenovatel pojmů nekonečně narůstá, samy se stávají nekonečně malé. To znamená, že limita číselné řady je 0. Tento příklad opět ukazuje omezenou povahu konvergentní posloupnosti.
Základní sekvence
Augustin Louis Cauchy, francouzský vědec, odhalil světu mnoho prací souvisejících s matematickou analýzou. Dal definice pojmů jako diferenciál, integrál, limita a spojitost. Studoval také základní vlastnosti konvergentních posloupností. Abychom pochopili podstatu jeho myšlenek,je třeba shrnout některé důležité detaily.
Na samém začátku článku bylo ukázáno, že existují takové posloupnosti, pro které existuje okolí, kde se body představující členy určité řady na reálné čáře začnou shlukovat a seřazovat se stále více hustě. Zároveň se vzdálenost mezi nimi zmenšuje s rostoucím počtem dalšího zástupce a mění se v nekonečně malý. Ukazuje se tedy, že v daném okolí je seskupeno nekonečné množství zástupců dané řady, zatímco mimo něj je jich konečný počet. Takové sekvence se nazývají základní.
Slavné Cauchyho kritérium, vytvořené francouzským matematikem, jasně ukazuje, že přítomnost takové vlastnosti je dostatečná k prokázání, že posloupnost konverguje. Opak je také pravdou.
Je třeba poznamenat, že tento závěr francouzského matematika je převážně čistě teoretický. Jeho aplikace v praxi je považována za poměrně komplikovanou záležitost, proto je pro objasnění konvergence řad mnohem důležitější dokázat existenci konečné limity posloupnosti. V opačném případě se považuje za divergentní.
Při řešení problémů je třeba vzít v úvahu také základní vlastnosti konvergentních posloupností. Jsou zobrazeny níže.
Nekonečné sumy
Takoví slavní vědci starověku jako Archimedes, Euclid, Eudoxus používali součty nekonečných číselných řad k výpočtu délek křivek, objemů tělesa oblasti postav. Zejména tímto způsobem bylo možné zjistit oblast parabolického segmentu. K tomu byl použit součet číselné řady geometrické posloupnosti s q=1/4. Obdobným způsobem byly zjištěny objemy a plochy dalších libovolných obrazců. Tato možnost se nazývala metoda „vyčerpání“. Myšlenka byla taková, že studované tělo, složitého tvaru, bylo rozbito na části, což byly obrazce se snadno měřitelnými parametry. Z tohoto důvodu nebylo obtížné vypočítat jejich plochy a objemy a poté se sečetly.
Mimochodem, podobné úlohy jsou moderním školákům velmi dobře známé a nacházejí se v úlohách USE. Unikátní metoda, kterou našli vzdálení předkové, je zdaleka nejjednodušším řešením. I když existují pouze dvě nebo tři části, na které je číselný údaj rozdělen, součet jejich oblastí je stále součtem číselné řady.
Mnohem později než starověcí řečtí vědci Leibniz a Newton se na základě zkušeností svých moudrých předchůdců naučili vzorce integrálního výpočtu. Znalost vlastností posloupností jim pomohla řešit diferenciální a algebraické rovnice. V současnosti teorie řad, vytvořená úsilím mnoha generací talentovaných vědců, dává šanci řešit obrovské množství matematických i praktických problémů. A studium numerických posloupností bylo hlavním problémem řešeným matematickou analýzou od jejího počátku.
