Mechanický systém, který se skládá z hmotného bodu (těla) visícího na neroztažitelném beztížném vláknu (jeho hmotnost je zanedbatelná ve srovnání s hmotností tělesa) v rovnoměrném gravitačním poli se nazývá matematické kyvadlo (jiný název je oscilátor). Existují i jiné typy tohoto zařízení. Místo závitu lze použít beztížnou tyč. Matematické kyvadlo dokáže jasně odhalit podstatu mnoha zajímavých jevů. S malou amplitudou kmitání se jeho pohyb nazývá harmonický.
Přehled mechanického systému
Vzorec pro periodu oscilace tohoto kyvadla odvodil holandský vědec Huygens (1629-1695). Tento současník I. Newtona si tento mechanický systém velmi oblíbil. V roce 1656 vytvořil první kyvadlové hodiny. Čas měřili výjimečněpro ty časy přesnost. Tento vynález se stal hlavním milníkem ve vývoji fyzikálních experimentů a praktických činností.
Pokud je kyvadlo v rovnováze (visí vertikálně), pak bude gravitační síla vyvážena silou napětí nitě. Ploché kyvadlo na neroztažitelném závitu je soustava se dvěma stupni volnosti s připojením. Když změníte pouze jednu součást, změní se vlastnosti všech jejích částí. Pokud je tedy závit nahrazen tyčí, pak bude mít tento mechanický systém pouze 1 stupeň volnosti. Jaké vlastnosti má matematické kyvadlo? V tomto nejjednodušším systému vzniká chaos pod vlivem periodické poruchy. V případě, že se závěsný bod nepohybuje, ale kmitá, má kyvadlo novou rovnovážnou polohu. Rychlým kmitáním nahoru a dolů získává tento mechanický systém stabilní polohu hlavou dolů. Má také své jméno. Říká se mu Kapitzovo kyvadlo.
Vlastnosti kyvadla
Matematické kyvadlo má velmi zajímavé vlastnosti. Všechny jsou potvrzeny známými fyzikálními zákony. Doba kmitání jakéhokoli jiného kyvadla závisí na různých okolnostech, jako je velikost a tvar těla, vzdálenost mezi bodem zavěšení a těžištěm, rozložení hmotnosti vzhledem k tomuto bodu. Proto je určení doby zavěšení těla poměrně obtížným úkolem. Je mnohem jednodušší vypočítat periodu matematického kyvadla, jehož vzorec bude uveden níže. V důsledku pozorování podobnýchmechanické systémy mohou vytvořit následující vzorce:
• Pokud při zachování stejné délky kyvadla zavěsíme různá závaží, pak bude perioda jejich kmitů stejná, i když jejich hmotnosti se budou značně lišit. Perioda takového kyvadla proto nezávisí na hmotnosti nákladu.
• Pokud se při spouštění systému kyvadlo vychýlí o nepříliš velké, ale různé úhly, začne kmitat se stejnou periodou, ale s různými amplitudami. Dokud nebudou odchylky od středu rovnováhy příliš velké, budou se oscilace v jejich formě dosti blížit harmonickým. Perioda takového kyvadla nijak nezávisí na amplitudě kmitání. Tato vlastnost tohoto mechanického systému se nazývá izochronismus (přeloženo z řeckého "chronos" - čas, "isos" - rovno).
Období matematického kyvadla
Tento indikátor představuje období vlastních oscilací. Přes složitou formulaci je samotný proces velmi jednoduchý. Pokud je délka závitu matematického kyvadla L a zrychlení volného pádu je g, pak je tato hodnota:
T=2π√L/g
Perioda malých vlastních kmitů v žádném případě nezávisí na hmotnosti kyvadla a amplitudě kmitů. V tomto případě se kyvadlo pohybuje jako matematické kyvadlo se zmenšenou délkou.
Výkyvy matematického kyvadla
Matematické kyvadlo kmitá, což lze popsat jednoduchou diferenciální rovnicí:
x + ω2 sin x=0, kde x (t) je neznámá funkce (jedná se o úhel odchylky od spodnírovnovážná poloha v čase t, vyjádřená v radiánech); ω je kladná konstanta, která je určena z parametrů kyvadla (ω=√g/L, kde g je zrychlení volného pádu a L je délka matematického kyvadla (odpružení).
Rovnice malých fluktuací v blízkosti rovnovážné polohy (harmonická rovnice) vypadá takto:
x + ω2 sin x=0
Kmitavé pohyby kyvadla
Matematické kyvadlo, které vytváří malé oscilace pohybující se po sinusoidě. Diferenciální rovnice druhého řádu splňuje všechny požadavky a parametry takového pohybu. Chcete-li určit trajektorii, musíte zadat rychlost a souřadnice, ze kterých se pak určují nezávislé konstanty:
x=Hřích (θ0 + ωt), kde θ0 je počáteční fáze, A je amplituda oscilace, ω je cyklická frekvence určená z pohybové rovnice.
Matematické kyvadlo (vzorce pro velké amplitudy)
Tento mechanický systém, který provádí své oscilace s významnou amplitudou, se řídí složitějšími zákony pohybu. Pro takové kyvadlo se počítají podle vzorce:
sin x/2=usn(ωt/u), kde sn je Jacobiho sinus, což je pro u < 1 periodická funkce a pro malé u se shoduje s jednoduchým trigonometrickým sinem. Hodnota u je určena následujícím výrazem:
u=(ε + ω2)/2ω2, kde ε=E/mL2 (mL2 je energie kyvadla).
Určení periody kmitání nelineárního kyvadlaprovádí se podle vzorce:
T=2π/Ω, kde Ω=π/2ω/2K(u), K je eliptický integrál, π - 3, 14.
Pohyb kyvadla podél separatrix
Separatrix je trajektorie dynamického systému s dvourozměrným fázovým prostorem. Matematické kyvadlo se po něm pohybuje neperiodicky. V nekonečně vzdáleném časovém okamžiku padá z krajní horní polohy na stranu s nulovou rychlostí, pak ji postupně nabírá. Nakonec se zastaví a vrátí se do své původní polohy.
Pokud se amplituda oscilací kyvadla blíží číslu π, znamená to, že pohyb ve fázové rovině se blíží k separatrix. V tomto případě, působením malé periodické hnací síly, mechanický systém vykazuje chaotické chování.
Když se matematické kyvadlo vychýlí z rovnovážné polohy o určitý úhel φ, vznikne tečná gravitační síla Fτ=–mg sin φ. Znaménko mínus znamená, že tato tangenciální složka směřuje opačným směrem než výchylka kyvadla. Když posun kyvadla po oblouku kružnice o poloměru L označíme x, je jeho úhlové posunutí rovno φ=x/L. Druhý zákon Isaaca Newtona, navržený pro projekce vektoru zrychlení a síly, dá požadovanou hodnotu:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Na základě tohoto poměru je jasné, že toto kyvadlo je nelineární systém, protože síla, která se snaží vrátitto k rovnovážné poloze, je vždy úměrné posunutí x, ale sin x/L.
Pouze když matematické kyvadlo dělá malé oscilace, jedná se o harmonický oscilátor. Jinými slovy, stává se mechanickým systémem schopným provádět harmonické vibrace. Tato aproximace prakticky platí pro úhly 15–20°. Kmity kyvadla s velkými amplitudami nejsou harmonické.
Newtonův zákon pro malé kmity kyvadla
Pokud tento mechanický systém vykonává malé vibrace, Newtonův 2. zákon bude vypadat takto:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Na základě toho můžeme dojít k závěru, že tečné zrychlení matematického kyvadla je úměrné jeho posunutí se znaménkem mínus. To je stav, díky kterému se systém stává harmonickým oscilátorem. Modul proporcionálního zesílení mezi výchylkou a zrychlením se rovná druhé mocnině kruhové frekvence:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Tento vzorec odráží vlastní frekvenci malých kmitů tohoto typu kyvadla. Na základě toho
T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Výpočty založené na zákonu zachování energie
Vlastnosti oscilačních pohybů kyvadla lze také popsat pomocí zákona zachování energie. V tomto případě je třeba vzít v úvahu, že potenciální energie kyvadla v gravitačním poli je:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Celková mechanická energierovná se kinetice nebo maximálnímu potenciálu: Epmax=Ekmsx=E
Po napsání zákona zachování energie vezměte derivaci pravé a levé strany rovnice:
Ep + Ek=const
Protože derivace konstantních hodnot je 0, pak (Ep + Ek)'=0. Derivace součtu je rovna součtu derivací:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, odtud:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Na základě posledního vzorce zjistíme: α=- g/Lx.
Praktická aplikace matematického kyvadla
Zrychlení volného pádu se liší podle zeměpisné šířky, protože hustota zemské kůry na celé planetě není stejná. Tam, kde se vyskytují horniny s vyšší hustotou, bude poněkud vyšší. Ke geologickému průzkumu se často používá zrychlení matematického kyvadla. Slouží k hledání různých minerálů. Jednoduše spočítáním počtu výkyvů kyvadla můžete v útrobách Země najít uhlí nebo rudu. To je způsobeno skutečností, že takové fosilie mají hustotu a hmotnost větší než volné horniny pod nimi.
Matematické kyvadlo používali tak prominentní vědci jako Sokrates, Aristoteles, Platón, Plutarchos, Archimedes. Mnoho z nich věřilo, že tento mechanický systém může ovlivnit osud a život člověka. Archimédes použil při svých výpočtech matematické kyvadlo. V dnešní době mnoho okultistů a jasnovidcůpoužijte tento mechanický systém ke splnění jejich proroctví nebo pátrání po pohřešovaných lidech.
Slavný francouzský astronom a přírodovědec K. Flammarion použil pro svůj výzkum také matematické kyvadlo. Tvrdil, že s jeho pomocí dokázal předpovědět objev nové planety, výskyt tunguzského meteoritu a další důležité události. Během druhé světové války v Německu (Berlín) pracoval specializovaný Kyvadlový institut. Dnes se podobným výzkumem zabývá mnichovský parapsychologický ústav. Zaměstnanci této instituce nazývají svou práci s kyvadlem „radiestezie“.
