Už ve starověkém Egyptě se objevila věda, s jejíž pomocí bylo možné měřit objemy, plochy a další veličiny. Impulsem k tomu byla stavba pyramid. Zahrnovalo značné množství složitých výpočtů. A kromě stavby bylo důležité pozemek pořádně vyměřit. Věda o „geometrii“se tedy objevila z řeckých slov „geos“– země a „metrio“– měřím.
Studium geometrických tvarů bylo usnadněno pozorováním astronomických jevů. A již v 17. století př. Kr. E. byly nalezeny počáteční metody pro výpočet plochy kruhu, objemu koule a nejdůležitějším objevem byla Pythagorova věta.
Výrok věty o kružnici vepsané do trojúhelníku je následující:
Do trojúhelníku lze vepsat pouze jeden kruh.
Při tomto uspořádání je kruh vepsán a trojúhelník je opsán poblíž kruhu.
Výrok věty o středu kružnice vepsané do trojúhelníku je následující:
Střední bod kružnice vepsanétrojúhelník, existuje průsečík os tohoto trojúhelníku.
Kruh vepsaný do rovnoramenného trojúhelníku
Kruh je považován za vepsaný do trojúhelníku, pokud se dotýká všech jeho stran alespoň jedním bodem.
Na níže uvedené fotografii je kruh uvnitř rovnoramenného trojúhelníku. Podmínka věty o kružnici vepsané do trojúhelníku je splněna - dotýká se všech stran trojúhelníku AB, BC a CA v bodech R, S, Q, resp.
Jednou z vlastností rovnoramenného trojúhelníku je, že kružnice vepsaná půlí základnu bodem dotyku (BS=SC) a poloměr vepsané kružnice je jedna třetina výšky tohoto trojúhelníku (SP=AS/3).
Vlastnosti věty o kružnici trojúhelníku:
- Segmenty přicházející z jednoho vrcholu trojúhelníku do bodů dotyku s kružnicí jsou stejné. Na obrázku AR=AQ, BR=BS, CS=CQ.
- Poloměr kružnice (vepsané) je plocha dělená polovinou obvodu trojúhelníku. Jako příklad je třeba nakreslit rovnoramenný trojúhelník se stejnými písmeny jako na obrázku, o následujících rozměrech: získají se základna BC \u003d 3 cm, výška AS \u003d 2 cm, strany AB \u003d BC. každý o 2,5 cm. Z každého rohu nakreslíme osičku a místo jejich průsečíku označíme P. Vepíšeme kružnici o poloměru PS, jejíž délku je třeba najít. Obsah trojúhelníku můžete zjistit vynásobením 1/2 základny výškou: S=1/2DCAS=1/232=3 cm2 . Semiperimetrtrojúhelník se rovná 1/2 součtu všech stran: P \u003d (AB + BC + SA) / 2 \u003d (2,5 + 3 + 2,5) / 2 \u003d 4 cm; PS=S/P=3/4=0,75 cm2, což je při měření pomocí pravítka úplná pravda. V souladu s tím je vlastnost věty o kružnici vepsané do trojúhelníku pravdivá.
Kruh vepsaný v pravoúhlém trojúhelníku
Pro trojúhelník s pravým úhlem platí vlastnosti věty o kružnici vepsané trojúhelníku. A navíc je přidána schopnost řešit problémy s postuláty Pythagorovy věty.
Poloměr vepsané kružnice v pravoúhlém trojúhelníku lze určit následovně: sečtěte délky ramen, odečtěte hodnotu přepony a výslednou hodnotu vydělte 2.
Existuje dobrý vzorec, který vám pomůže vypočítat obsah trojúhelníku - vynásobte obvod poloměrem kružnice vepsané do tohoto trojúhelníku.
Formulace incircle teorém
Věty o vepsaných a opsaných útvarech jsou důležité v planimetrii. Jeden z nich zní takto:
Střed kruhu vepsaného do trojúhelníku je průsečíkem os nakreslených z jeho rohů.
Obrázek níže ukazuje důkaz této věty. Je zobrazena rovnost úhlů a podle toho i rovnost sousedních trojúhelníků.
Věta o středu kružnice vepsané do trojúhelníku
Poloměry kruhu vepsaného do trojúhelníku,nakreslené k tečným bodům jsou kolmé ke stranám trojúhelníku.
Úkol „formulovat větu o kružnici vepsané do trojúhelníku“by vás neměl překvapit, protože jde o jednu ze základních a nejjednodušších znalostí v geometrii, kterou musíte plně ovládat, abyste mohli vyřešit mnoho praktických problémů skutečný život.
