Pojem derivace zná pravděpodobně každý z nás už od školy. Obvykle mají studenti potíže s pochopením této, bezpochyby velmi důležité věci. Aktivně se používá v různých oblastech lidského života a mnoho technických vývojů bylo založeno právě na matematických výpočtech získaných pomocí derivátu. Než však přistoupíme k analýze toho, co jsou derivace čísel, jak je vypočítat a kde jsou pro nás užitečné, pojďme se vrhnout do historie.
Historie
Koncept derivace, který je základem matematické analýzy, objevil (lépe by bylo říci „vynalezený“, protože v přírodě jako takový neexistoval) Isaac Newton, kterého všichni známe od objevu zákona univerzální gravitace. Byl to on, kdo poprvé použil tento koncept ve fyzice, aby spojil povahu rychlosti a zrychlení těles. A mnoho vědců stále chválí Newtona za tento velkolepý vynález, protože ve skutečnosti vynalezl základ diferenciálního a integrálního počtu, ve skutečnosti základ celé oblasti matematiky zvané „počet“. Pokud by v té době byla Nobelova cena, Newton by ji s vysokou pravděpodobností dostal několikrát.
Ne bez dalších skvělých myslí. Kromě Newtonana vývoji derivace a integrálu pracovali takoví významní matematickí géniové jako Leonhard Euler, Louis Lagrange a Gottfried Leibniz. Právě díky nim jsme dostali teorii diferenciálního počtu v podobě, v jaké existuje dodnes. Mimochodem, byl to Leibniz, kdo objevil geometrický význam derivace, která se ukázala jako nic jiného než tangens sklonu tečny ke grafu funkce.
Co jsou derivace čísel? Zopakujme si trochu, čím jsme prošli ve škole.
Co je derivát?
Tento pojem lze definovat několika různými způsoby. Nejjednodušší vysvětlení je, že derivace je rychlost změny funkce. Představte si graf nějaké funkce y z x. Pokud není přímá, tak má v grafu nějaké křivky, období nárůstu a poklesu. Pokud vezmeme nějaký nekonečně malý interval tohoto grafu, bude to úsečka. Takže poměr velikosti tohoto nekonečně malého segmentu podél souřadnice y k velikosti podél souřadnice x bude derivací této funkce v daném bodě. Pokud budeme uvažovat funkci jako celek a ne v určitém bodě, dostaneme derivační funkci, tedy určitou závislost y na x.
Kromě fyzikálního významu derivace jako rychlosti změny funkce existuje také geometrický význam. Teď o něm budeme mluvit.
Geometrický smysl
Derivace čísel samy o sobě představují určité číslo, které bez správného pochopení nenesežádný bod. Ukazuje se, že derivace ukazuje nejen rychlost růstu nebo poklesu funkce, ale také tečnu sklonu tečny ke grafu funkce v daném bodě. Ne příliš jasná definice. Pojďme to analyzovat podrobněji. Řekněme, že máme graf funkce (pro zajímavost si vezměme křivku). Má nekonečný počet bodů, ale jsou oblasti, kde pouze jeden jediný bod má maximum nebo minimum. Přes jakýkoli takový bod je možné nakreslit čáru, která by byla kolmá na graf funkce v tomto bodě. Taková přímka se bude nazývat tečna. Řekněme, že jsme to strávili až ke křižovatce s osou OX. Takže úhel získaný mezi tečnou a osou OX bude určen derivací. Přesněji řečeno, tangens tohoto úhlu se mu bude rovnat.
Promluvme si trochu o speciálních případech a analyzujme derivace čísel.
Speciální případy
Jak jsme již řekli, derivace čísel jsou hodnoty derivace v určitém bodě. Vezměme si například funkci y=x2. Derivace x je číslo a v obecném případě funkce rovna 2x. Pokud potřebujeme vypočítat derivaci, řekněme, v bodě x0=1, dostaneme y'(1)=21=2. Vše je velmi jednoduché. Zajímavým případem je derivace komplexního čísla. Nebudeme se pouštět do podrobného vysvětlování toho, co je komplexní číslo. Řekněme, že se jedná o číslo, které obsahuje tzv. imaginární jednotku – číslo, jehož druhá mocnina je -1. Výpočet takového derivátu je možný pouze tehdy, je-li následujícípodmínky:
1) Musí existovat parciální derivace prvního řádu skutečných a imaginárních částí s ohledem na Y a X.
2) Cauchyho-Riemannovy podmínky spojené s rovností parciálních derivací popsaných v prvním odstavci jsou splněny.
Další zajímavý případ, i když ne tak složitý jako předchozí, je derivace záporného čísla. Ve skutečnosti může být jakékoli záporné číslo reprezentováno jako kladné číslo vynásobené -1. No, derivace konstanty a funkce se rovná konstantě vynásobené derivací funkce.
Bude zajímavé dozvědět se o úloze derivátu v každodenním životě, a to je to, o čem teď budeme diskutovat.
Aplikace
Pravděpodobně se každý z nás alespoň jednou v životě přistihne při myšlence, že matematika pro něj pravděpodobně nebude užitečná. A tak komplikovaná věc, jako je odvozenina, pravděpodobně nemá vůbec žádné uplatnění. Matematika je ve skutečnosti základní věda a všechny její plody rozvíjí především fyzika, chemie, astronomie a dokonce i ekonomie. Derivace byla počátkem matematické analýzy, která nám dala možnost vyvozovat závěry z grafů funkcí a díky ní jsme se naučili interpretovat přírodní zákony a obracet je ve svůj prospěch.
Závěr
Samozřejmě ne každý může potřebovat derivát v reálném životě. Matematika ale rozvíjí logiku, která bude jistě potřeba. Ne nadarmo se matematice říká královna věd: tvoří základ pro pochopení dalších oblastí vědění.
