Co je aritmetika? Kdy lidstvo začalo používat čísla a pracovat s nimi? Kam sahají kořeny takových každodenních pojmů, jako jsou čísla, zlomky, odčítání, sčítání a násobení, které člověk učinil nedílnou součástí svého života a vidění světa? Starověcí řečtí lidé obdivovali vědy, jako je matematika, aritmetika a geometrie, jako nejkrásnější symfonie lidské logiky.
Aritmetika možná není tak hluboká jako jiné vědy, ale co by se s nimi stalo, kdyby člověk zapomněl elementární násobilku? Nám obvyklé logické myšlení, využívající čísla, zlomky a další nástroje, nebylo pro lidi snadné a našim předkům bylo dlouho nedostupné. Ve skutečnosti před rozvojem aritmetiky nebyla žádná oblast lidského poznání skutečně vědecká.
Aritmetika je ABC matematiky
Aritmetika je věda o číslech, se kterou se každý začíná seznamovat s fascinujícím světem matematiky. Jak řekl M. V. Lomonosov, aritmetika je branou učení, otevírá nám cestu ke světovému poznání. Ale má pravduDá se znalost světa oddělit od znalosti čísel a písmen, matematiky a řeči? Možná za starých časů, ale ne v moderním světě, kde rychlý rozvoj vědy a techniky diktuje své vlastní zákony.
Slovo „aritmetika“(řecky „aritmos“) řeckého původu znamená „číslo“. Studuje čísla a vše, co se s nimi dá spojit. Toto je svět čísel: různé operace s čísly, numerická pravidla, řešení problémů souvisejících s násobením, odčítáním atd.
Všeobecně se uznává, že aritmetika je počátečním krokem matematiky a pevným základem pro její složitější části, jako je algebra, matematická analýza, vyšší matematika atd.
Hlavní předmět aritmetiky
Základem aritmetiky je celé číslo, jehož vlastnosti a vzory jsou brány v úvahu ve vyšší aritmetice nebo teorii čísel. Síla celé budovy – matematiky – ve skutečnosti závisí na tom, jak správný je přístup při posuzování tak malého bloku jako přirozeného čísla.
Na otázku, co je aritmetika, lze tedy odpovědět jednoduše: je to věda o číslech. Ano, o obvyklé sedmičce, devítce a celé této rozmanité komunitě. A stejně jako nemůžete napsat dobrou nebo dokonce nejprůměrnější poezii bez základní abecedy, nemůžete vyřešit ani základní problém bez aritmetiky. To je důvod, proč všechny vědy pokročily až po rozvoji aritmetiky a matematiky, které předtím byly pouhým souborem předpokladů.
Aritmetika je fantomová věda
Co je aritmetika – přírodní věda nebo fantom? Ve skutečnosti, jak tvrdili starověcí řečtí filozofové, ani čísla, ani čísla ve skutečnosti neexistují. To je jen fantom, který se vytváří v lidském myšlení při zvažování prostředí s jeho procesy. Co je to vlastně číslo? Nikde v okolí nevidíme nic takového, co by se dalo nazvat číslem, spíše je číslo způsob, jakým lidská mysl studuje svět. Nebo je to možná studium nás samých zevnitř? Filozofové se o tom přou již mnoho staletí v řadě, takže se nezavazujeme poskytnout vyčerpávající odpověď. Tak či onak se aritmetice podařilo zaujmout své místo tak pevně, že v moderním světě nelze nikoho považovat za sociálně přizpůsobeného, aniž by znal její základy.
Jak se objevilo přirozené číslo
Hlavním objektem, se kterým aritmetika pracuje, je samozřejmě přirozené číslo, například 1, 2, 3, 4, …, 152… atd. Aritmetika přirozených čísel je výsledkem počítání běžných předmětů, jako jsou krávy na louce. Přesto definice „hodně“nebo „málo“přestala lidem vyhovovat a museli vynalézt pokročilejší techniky počítání.
Skutečný průlom však nastal, když lidská myšlenka dosáhla bodu, kdy je možné označit 2 kilogramy, 2 cihly a 2 díly stejným číslem „dvě“. Faktem je, že musíte abstrahovat od forem, vlastností a významu objektů, pak můžete s těmito objekty provádět některé akce ve formě přirozených čísel. Tak se zrodila aritmetika čísel, kterádále se rozvíjel a rozšiřoval a zaujímá stále větší postavení v životě společnosti.
Takové hloubkové koncepty čísel, jako je nula a záporné číslo, zlomky, označení čísel čísly a dalšími způsoby, mají bohatou a zajímavou historii vývoje.
Aritmetičtí a praktičtí Egypťané
Dva nejstarší lidští společníci při objevování světa kolem nás a řešení každodenních problémů jsou aritmetika a geometrie.
Předpokládá se, že historie aritmetiky má svůj původ na starověkém východě: v Indii, Egyptě, Babylonu a Číně. Tedy papyrus Rinda egyptského původu (pojmenovaný tak, protože patřil majiteli stejného jména), pocházející z 20. století. př. n. l. kromě dalších cenných údajů obsahuje rozšíření jednoho zlomku na součet zlomků s různými jmenovateli a čitatelem rovným jedné.
Například: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Jaký je smysl takového složitého rozkladu? Faktem je, že egyptský přístup netoleroval abstraktní úvahy o číslech, naopak výpočty byly prováděny pouze pro praktické účely. To znamená, že Egypťan se zapojí do takových věcí, jako jsou výpočty, pouze proto, aby například postavil hrobku. Bylo potřeba vypočítat délku okraje konstrukce a to člověka donutilo sednout si za papyrus. Jak vidíte, egyptský pokrok ve výpočtech byl způsoben spíše masovou výstavbou než láskou k vědě.
Z tohoto důvodu nelze výpočty nalezené na papyrech nazývat úvahami na téma zlomků. S největší pravděpodobností se jedná o praktickou přípravu, která pomohla do budoucna.řešit problémy se zlomky. Staří Egypťané, kteří neznali násobilky, prováděli poměrně dlouhé výpočty, rozložené na mnoho dílčích úkolů. Možná je to jeden z těch dílčích úkolů. Je snadné vidět, že výpočty s takovými obrobky jsou velmi pracné a neperspektivní. Možná z tohoto důvodu nevidíme velký přínos starověkého Egypta k rozvoji matematiky.
Starověké Řecko a filozofická aritmetika
Mnoho znalostí starověkého východu si úspěšně osvojili staří Řekové, slavní milovníci abstraktních, abstraktních a filozofických úvah. Neméně je zajímala praxe, ale je těžké najít ty nejlepší teoretiky a myslitele. To prospělo vědě, protože je nemožné ponořit se do aritmetiky, aniž bychom ji odtrhli od reality. Jistě, můžete namnožit 10 krav a 100 litrů mléka, ale daleko se nedostanete.
Hluboce uvažující Řekové zanechali významnou stopu v historii a jejich spisy se dostaly až k nám:
- Euclid a živly.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
A samozřejmě Řekové, kteří vše proměnili ve filozofii, a zejména pokračovatelé Pythagorova díla, byli tak fascinováni čísly, že je považovali za záhadu harmonie světa. Čísla byla studována a prozkoumána do takové míry, že některým z nich a jejich párům byly přiřazeny speciální vlastnosti. Například:
- Dokonalá čísla jsou ta, která se rovnají součtu všech svých dělitelů, kromě čísla samotného (6=1+2+3).
- Přátelská čísla jsou ta čísla, z nichž jedno je jednose rovná součtu všech dělitelů druhého a naopak (Pythagorejci znali pouze jeden takový pár: 220 a 284).
Řekové, kteří věřili, že vědu je třeba milovat, a ne s ní být kvůli zisku, dosáhli velkého úspěchu zkoumáním, hraním a sčítáním čísel. Je třeba poznamenat, že ne všechny jejich výzkumy byly široce využívány, některé z nich zůstaly pouze „pro krásu“.
Východní myslitelé středověku
Stejně tak ve středověku vděčí aritmetika za svůj rozvoj východním současníkům. Indové nám dali čísla, která aktivně používáme, například pojem „nula“a poziční verzi kalkulu, známou modernímu vnímání. Od Al-Kashiho, který v 15. století působil v Samarkandu, jsme zdědili desetinné zlomky, bez kterých je těžké si představit moderní aritmetiku.
Seznámení Evropy s úspěchy Východu bylo v mnoha ohledech možné díky práci italského vědce Leonarda Fibonacciho, který napsal dílo „The Book of the Abacus“představující východní inovace. Stala se základním kamenem rozvoje algebry a aritmetiky, výzkumu a vědeckých aktivit v Evropě.
ruská aritmetika
A konečně aritmetika, která našla své místo a zakořenila v Evropě, se začala šířit do ruských zemí. První ruská aritmetika byla vydána v roce 1703 - byla to kniha o aritmetice od Leontyho Magnitského. Dlouho zůstala jedinou učebnicí matematiky. Obsahuje počáteční momenty algebry a geometrie. Čísla použitá v příkladech první učebnice aritmetiky v Rusku jsou arabská. Přestože arabské číslice byly k vidění již dříve, na rytinách pocházejících ze 17. století.
Knihu samotnou zdobí obrázky Archiméda a Pythagora a na prvním listu obrázek aritmetiky v podobě ženy. Sedí na trůnu, pod ní je hebrejsky napsáno slovo označující Boží jméno a na schodech, které vedou k trůnu, jsou napsána slova „rozdělení“, „násobení“, „sčítání“atd. pravdy které jsou nyní považovány za běžné.
600stránková učebnice pokrývá základy, jako jsou sčítací a násobilky, a aplikace pro navigační vědy.
Nepřekvapuje, že si autor pro svou knihu vybral obrázky řeckých myslitelů, protože sám byl uchvácen krásou aritmetiky, když řekl: "Aritmetika je čitatel, existuje umění poctivé, nezáviděníhodné…". Tento přístup k aritmetice je zcela oprávněný, protože právě jeho rozšířené zavedení lze považovat za začátek rychlého rozvoje vědeckého myšlení v Rusku a všeobecného vzdělání.
Neprime prvočísla
Prvočíslo je přirozené číslo, které má pouze 2 kladné dělitele: 1 a samo sebe. Všechna ostatní čísla, kromě 1, se nazývají složená. Příklady prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11 a všechna ostatní, která nemají žádné jiné dělitele než 1 a sama sebe.
Pokud jde o číslo 1, je na zvláštním účtu – existuje shoda, že by nemělo být považováno ani za jednoduché, ani za složené. Na první pohled jednoduché, jednoduché číslo v sobě skrývá mnoho nevyřešených záhad.
Euklidova věta říká, že existuje nekonečný počet prvočísel, a Eratosthenes vynalezl speciální aritmetické „síto“, které eliminuje neprvočísla a ponechává pouze jednoduchá.
Její podstatou je podtrhnout první nepřeškrtnuté číslo a následně škrtnout ty, které jsou jeho násobky. Tento postup opakujeme mnohokrát - a dostaneme tabulku prvočísel.
Základní teorém aritmetiky
Mezi pozorováními o prvočíslech by měla být zvláštním způsobem zmíněna základní věta aritmetiky.
Základní teorém aritmetiky říká, že každé celé číslo větší než 1 je buď prvočíslo, nebo je lze rozložit na součin prvočísel až do pořadí faktorů a jedinečným způsobem.
Hlavní teorém aritmetiky se ukázal jako poměrně těžkopádný a jeho pochopení již nevypadá jako ty nejjednodušší základy.
Na první pohled jsou prvočísla elementárním pojmem, ale nejsou. Fyzika také kdysi považovala atom za elementární, dokud v něm nenašla celý vesmír. Nádherný příběh matematika Dona Tzagira „Prvních padesát milionů prvočísel“je věnován prvočíslům.
Od „tří jablek“k deduktivním zákonům
To, co lze skutečně nazvat posíleným základem veškeré vědy, jsou zákony aritmetiky. I v dětství se každý potýká s aritmetikou, studuje počet nohou a paží panenek,počet kostek, jablek atd. Takto studujeme aritmetiku, která pak přechází do složitějších pravidel.
Celý život nás seznamuje s pravidly aritmetiky, která se pro obyčejného člověka stala nejužitečnější ze všeho, co věda dává. Studium čísel je "aritmeticko-dětské", které uvádí člověka do světa čísel v podobě čísel v raném dětství.
Vyšší aritmetika je deduktivní věda, která studuje zákony aritmetiky. Většinu z nich známe, i když možná neznáme jejich přesné znění.
Zákon sčítání a násobení
Dvě libovolná přirozená čísla aab lze vyjádřit jako součet a+b, což bude také přirozené číslo. Na přidávání se vztahují následující zákony:
- Komutativní, které říká, že součet se nemění přeskupením členů, nebo a+b=b+a.
- Asociativní, která říká, že součet nezávisí na způsobu, jakým jsou termíny seskupeny na místech, nebo a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Pravidla aritmetiky, jako je sčítání, patří k nejzákladnějším, ale používají je všechny vědy, nemluvě o každodenním životě.
Dvě libovolná přirozená čísla aab lze vyjádřit jako součin ab nebo ab, což je také přirozené číslo. Pro produkt platí stejné komutativní a asociační zákony jako pro přidání:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Zajímalo by měže existuje zákon, který spojuje sčítání a násobení, nazývaný také distributivní nebo distributivní zákon:
a(b+c)=ab+ac
Tento zákon nás vlastně učí pracovat se závorkami tím, že je rozšiřuje, takže můžeme pracovat se složitějšími vzorci. Toto jsou zákony, které nás provedou bizarním a složitým světem algebry.
Zákon aritmetického řádu
Zákon pořádku používá lidská logika každý den při porovnávání hodinek a počítání bankovek. A přesto je třeba jej formalizovat ve formě konkrétních formulací.
Pokud máme dvě přirozená čísla a a b, pak jsou možné následující možnosti:
- a se rovná b, nebo a=b;
- a je menší než b nebo a < b;
- a je větší než b nebo a > b.
Ze tří možností může být spravedlivá pouze jedna. Základní zákon, kterým se řád řídí, říká: pokud a < b a b < c, pak a< c.
Existují také zákony týkající se pořadí násobení a sčítání: pokud a< je b, pak a + c < b+c a ac< bc.
Zákony aritmetiky nás učí pracovat s čísly, znaménky a závorkami a vše mění v harmonickou symfonii čísel.
Poziční a nepoziční kalkul
Dá se říci, že čísla jsou matematický jazyk, na jehož výhodnosti hodně záleží. Existuje mnoho číselných soustav, které se, stejně jako abecedy různých jazyků, od sebe liší.
Uvažujme číselné soustavy z hlediska vlivu pozice na kvantitativní hodnotučísla na této pozici. Takže například římský systém je nepoziční, kde každé číslo je zakódováno určitou sadou speciálních znaků: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Jsou rovny číslům 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. V takovém systému číslo nemění svou kvantitativní definici v závislosti na tom, na jaké pozici je: první, druhá atd. Chcete-li získat další čísla, musíte sečíst základní. Například:
- DCC=700.
- CCM=800.
Číselný systém, který je nám známější pomocí arabských číslic, je poziční. V takovém systému číslice čísla určuje počet číslic, například tříciferných čísel: 333, 567 atd. Váha libovolné číslice závisí na pozici, na které se ta či ona číslice nachází, např. číslo 8 na druhé pozici má hodnotu 80. To je typické pro desítkovou soustavu, existují i jiné polohové soustavy, např., binární.
Binární aritmetika
Známe desítkovou soustavu, která se skládá z jednociferných a víceciferných čísel. Číslo nalevo od vícemístného čísla je desetkrát významnější než to napravo. Takže jsme zvyklí číst 2, 17, 467 atd. Část zvaná "binární aritmetika" má zcela jinou logiku a přístup. To není překvapivé, protože binární aritmetika nebyla vytvořena pro lidskou logiku, ale pro počítačovou logiku. Pokud aritmetika čísel vznikla počítáním objektů, které bylo dále abstrahováno z vlastností objektu na "holou" aritmetiku, pak to s počítačem nebude fungovat. Aby bylo možné sdíletse svými znalostmi počítače musel člověk vymyslet takový model kalkulu.
Binární aritmetika pracuje s binární abecedou, která se skládá pouze z 0 a 1. A použití této abecedy se nazývá binární systém.
Rozdíl mezi binární aritmetikou a desítkovou aritmetikou je ten, že význam pozice vlevo již není 10, ale 2krát. Binární čísla jsou ve tvaru 111, 1001 atd. Jak takovým číslům rozumět? Zvažte tedy číslo 1100:
- První číslice vlevo je 18=8, přičemž si pamatujeme, že čtvrtá číslice, což znamená, že je třeba ji vynásobit 2, dostaneme pozici 8.
- Druhá číslice 14=4 (pozice 4).
- Třetí číslice 02=0 (pozice 2).
- Čtvrtá číslice 01=0 (pozice 1).
- Naše číslo je tedy 1100=8+4+0+0=12.
To znamená, že při přechodu na novou číslici vlevo se její význam ve dvojkové soustavě vynásobí 2 a v desítkové soustavě 10. Takový systém má jedno mínus: je příliš velký nárůst číslic, které jsou potřeba k zápisu čísel. Příklady reprezentace desítkových čísel jako binárních čísel lze nalézt v následující tabulce.
Desetinná čísla v binárním tvaru jsou zobrazena níže.
Používají se také osmičkové i šestnáctkové soustavy.
Tato záhadná aritmetika
Co je aritmetika, „dvakrát dva“nebo neprozkoumaná tajemství čísel? Jak vidíte, aritmetika se může na první pohled zdát jednoduchá, ale její nezřejmá snadnost klame. Mohou ji studovat i děti spolu s tetou Sovou zkreslený film "Aritmetika-dítě" a můžete se ponořit do hluboce vědeckého výzkumu téměř filozofického řádu. V historii přešla od počítání předmětů k uctívání krásy čísel. S jistotou je známo pouze jedno: se stanovením základních postulátů aritmetiky se může celá věda spolehnout na své silné rameno.
