Chcete-li získat obecnou představu o tom, co je kruh, podívejte se na prsten nebo obruč. Můžete také vzít kulatou sklenici a hrnek, položit dnem vzhůru na papír a zakroužkovat tužkou. Při vícenásobném zvětšení bude výsledná čára tlustá a ne zcela rovná a její okraje budou rozmazané. Kruh jako geometrický útvar nemá takovou charakteristiku jako tloušťka.
Obvod: definice a hlavní prostředky popisu
Kruh je uzavřená křivka sestávající ze sady bodů umístěných ve stejné rovině a stejně vzdálených od středu kružnice. V tomto případě je střed ve stejné rovině. Zpravidla se označuje písmenem O.
Vzdálenost od kteréhokoli z bodů kruhu ke středu se nazývá poloměr a označuje se písmenem R.
Pokud spojíte libovolné dva body kružnice, výsledný segment se bude nazývat tětiva. Tětiva procházející středem kružnice je průměr, označovaný písmenem D. Průměr rozděluje kružnici na dva stejné oblouky a je dvojnásobkem délky poloměru. Takže D=2R nebo R=D/2.
Vlastnosti akordů
- Pokud nakreslíte tětivu přes libovolné dva body kružnice a poté nakreslíte poloměr nebo průměr kolmý na druhý, pak tento segment rozdělí tětivu i jím odříznutý oblouk na dvě stejné části. Platí to i obráceně: pokud poloměr (průměr) dělí tětivu na polovinu, pak je k ní kolmá.
- Pokud jsou dva rovnoběžné tětivy nakresleny ve stejném kruhu, pak oblouky jimi odříznuté i uzavřené mezi nimi budou stejné.
- Nakreslete dva akordy PR a QS protínající se v kruhu v bodě T. Součin segmentů jednoho akordu bude vždy roven součinu segmentů druhého akordu, tedy PT x TR=QT x TS.
Obvod: obecný koncept a základní vzorce
Jednou ze základních charakteristik tohoto geometrického útvaru je obvod. Vzorec je odvozen pomocí hodnot, jako je poloměr, průměr a konstanta „π“, odrážející stálost poměru obvodu kruhu k jeho průměru.
L=πD nebo L=2πR, kde L je obvod, D je průměr, R je poloměr.
Vzorec pro obvod kruhu lze považovat za výchozí vzorec pro zjištění poloměru nebo průměru pro daný obvod: D=L/π, R=L/2π.
Co je kruh: základní postuláty
1. Přímka a kružnice mohou být umístěny v rovině následovně:
- nemají společné body;
- má jeden společný bod, zatímco přímka se nazývá tečna: pokud nakreslíte poloměr středem a bodemdotyku, bude kolmá na tečnu;
- má dva společné body, zatímco čára se nazývá sečna.
2. Prostřednictvím tří libovolných bodů ležících ve stejné rovině lze nakreslit nejvýše jednu kružnici.
3. Dva kruhy se mohou dotýkat pouze v jednom bodě, který se nachází na segmentu spojujícím středy těchto kruhů.
4. Při jakékoli rotaci kolem středu se kruh otočí do sebe.
5. Co je to kruh z hlediska symetrie?
- stejné zakřivení čáry v libovolném bodě;
- středová symetrie kolem bodu O;
- zrcadlová symetrie kolem průměru.
6. Pokud sestrojíte dva libovolné vepsané úhly založené na stejném kruhovém oblouku, budou stejné. Úhel založený na oblouku, který se rovná polovině obvodu kruhu, to znamená, že je odříznutý průměrem tětivy, je vždy 90°.
7. Pokud porovnáme uzavřené zakřivené čáry stejné délky, pak se ukáže, že kružnice ohraničuje řez rovinou největší plochy.
Kruh vepsaný do trojúhelníku a popsaný kolem něj
Představa toho, co je kruh, bude neúplná bez popisu vztahu mezi tímto geometrickým obrazcem a trojúhelníky.
- Při konstrukci kružnice vepsané do trojúhelníku bude její střed vždy shodný s průsečíkem os úhlů trojúhelníku.
- Střed opsaného trojúhelníku se nachází v průsečíkustředové kolmice na každou stranu trojúhelníku.
- Pokud popíšete kružnici kolem pravoúhlého trojúhelníku, pak bude jeho střed uprostřed přepony, to znamená, že přepona bude mít průměr.
- Středy vepsané a opsané kružnice budou ve stejném bodě, pokud je základem pro konstrukci rovnostranný trojúhelník.
Základní tvrzení o kružnici a čtyřúhelnících
- Kruh lze opsat kolem konvexního čtyřúhelníku pouze v případě, že součet jeho protilehlých vnitřních úhlů je 180°.
- Je možné sestrojit kruh vepsaný do konvexního čtyřúhelníku, pokud je součet délek jeho protilehlých stran stejný.
- Je možné popsat kružnici kolem rovnoběžníku, pokud jsou jeho úhly pravé.
- Do rovnoběžníku můžete vepsat kruh, pokud jsou všechny jeho strany stejné, to znamená, že je to kosočtverec.
- Je možné sestrojit kružnici skrz úhly lichoběžníku pouze tehdy, je-li rovnoramenný. V tomto případě bude střed opsané kružnice umístěn v průsečíku osy symetrie čtyřúhelníku a střední kolmice nakreslené na stranu.
