Studium teorie pravděpodobnosti začíná řešením problémů sčítání a násobení pravděpodobností. Hned je třeba zmínit, že při zvládnutí této oblasti znalostí může student narazit na problém: pokud lze fyzikální nebo chemické procesy znázornit vizuálně a porozumět empiricky, pak je úroveň matematické abstrakce velmi vysoká a porozumění zde přichází pouze s zkušenost.
Ta hra však stojí za svíčku, protože vzorce – jak v tomto článku, tak složitější – se dnes používají všude a mohou být užitečné při práci.
Původ
Kupodivu, impulsem pro rozvoj této části matematiky byl … hazard. Ve skutečnosti jsou kostky, hod mincí, poker, ruleta typickými příklady, které využívají sčítání a násobení pravděpodobností. Na příkladu úloh v jakékoli učebnici je to dobře vidět. Lidé se zajímali o to, jak zvýšit své šance na výhru, a musím říct, že některým se to podařilo.
Například již v 21. století jedna osoba, jejíž jméno nezveřejníme,využil tyto znalosti nashromážděné po staletí k doslova „očištění“kasina a vyhrání několika desítek milionů dolarů v ruletě.
Navzdory zvýšenému zájmu o toto téma však až ve 20. století vznikl teoretický rámec, který z „teorveru“učinil plnohodnotnou součást matematiky. Dnes téměř v každé vědě můžete najít výpočty pomocí pravděpodobnostních metod.
Použitelnost
Důležitým bodem při použití vzorců sčítání a násobení pravděpodobností je podmíněná pravděpodobnost splnitelnosti centrální limitní věty. V opačném případě, i když si to student nemusí uvědomit, všechny výpočty, bez ohledu na to, jak věrohodné se mohou zdát, budou nesprávné.
Ano, vysoce motivovaný student je v pokušení používat nové znalosti při každé příležitosti. Ale v tomto případě by člověk měl trochu zpomalit a striktně nastínit rozsah použitelnosti.
Teorie pravděpodobnosti se zabývá náhodnými událostmi, které jsou empiricky výsledky experimentů: můžeme hodit šestistěnnou kostkou, líznout kartu z balíčku, předpovědět počet vadných dílů v dávce. V některých otázkách je však kategoricky nemožné použít vzorce z této části matematiky. Vlastnosti zvažování pravděpodobností události, věty o sčítání a násobení událostí probereme na konci článku, ale nyní se vraťme k příkladům.
Základní pojmy
Náhodná událost znamená nějaký proces nebo výsledek, který se může nebo nemusí objevitjako výsledek experimentu. Například hodíme sendvič - může spadnout máslo nahoru nebo máslo dolů. Každý z těchto dvou výsledků bude náhodný a předem nevíme, který z nich se uskuteční.
Při studiu sčítání a násobení pravděpodobností potřebujeme další dva pojmy.
Společné události jsou takové události, z nichž výskyt jedné nevylučuje výskyt druhé. Řekněme, že dva lidé střílejí na cíl současně. Pokud jeden z nich vystřelí úspěšnou střelu, neovlivní to schopnost toho druhého zasáhnout nebo minout.
Nekonzistentní budou takové události, jejichž výskyt je zároveň nemožný. Pokud například vytáhnete z krabice pouze jeden míček, nemůžete získat současně modrou i červenou.
Označení
Pojem pravděpodobnosti se označuje latinským velkým písmenem P. Další v závorce jsou argumenty označující některé události.
Ve vzorcích věty o sčítání, podmíněné pravděpodobnosti, věty o násobení uvidíte v závorkách výrazy, například: A+B, AB nebo A|B. Budou se počítat různými způsoby, nyní se k nim budeme věnovat.
Dodatek
Uvažujme případy, kdy se používají vzorce sčítání a násobení.
Pro neslučitelné události je relevantní nejjednodušší sčítací vzorec: pravděpodobnost libovolného z náhodných výsledků se bude rovnat součtu pravděpodobností každého z těchto výsledků.
Předpokládejme, že existuje krabice se 2 modrými, 3 červenými a 5 žlutými balónky. V krabici je celkem 10 položek. Jaké je procento pravdivosti tvrzení, že vytáhneme modrou nebo červenou kouli? Bude se rovnat 2/10 + 3/10, tj. padesáti procentům.
V případě nekompatibilních událostí se vzorec stává složitějším, protože je přidán další termín. Vrátíme se k tomu v jednom odstavci, po zvážení ještě jednoho vzorce.
Násobení
V různých případech se používá sčítání a násobení pravděpodobností nezávislých událostí. Pokud jsme podle podmínek experimentu spokojeni s jedním ze dvou možných výsledků, vypočítáme součet; pokud chceme získat dva určité výsledky jeden po druhém, uchýlíme se k použití jiného vzorce.
Vrátíme-li se k příkladu z předchozí části, chceme nejprve nakreslit modrou kouli a poté červenou. První číslo, které známe, jsou 2/10. Co se stane dál? Zbývá 9 kuliček, červených je stále stejný počet - tři kusy. Podle výpočtů dostanete 3/9 nebo 1/3. Ale co teď dělat se dvěma čísly? Správnou odpovědí je vynásobit a získat 2/30.
Společné akce
Nyní se můžeme vrátit k sumárnímu vzorci pro společné akce. Proč odbočujeme od tématu? Chcete-li zjistit, jak se násobí pravděpodobnosti. Nyní se vám tyto znalosti budou hodit.
Už víme, jaké budou první dva členy (stejné jako ve vzorci sčítání, o kterém jsme uvažovali dříve), nyní musíme odečístsoučin pravděpodobností, který jsme se právě naučili počítat. Pro přehlednost napíšeme vzorec: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Ukazuje se, že v jednom výrazu je použito sčítání i násobení pravděpodobností.
Řekněme, že musíme vyřešit jeden ze dvou problémů, abychom získali kredit. První můžeme vyřešit s pravděpodobností 0,3 a druhé - 0,6 Řešení: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Všimněte si, že pouhé sečtení čísel zde nebude stačit.
Podmíněná pravděpodobnost
Nakonec je tu koncept podmíněné pravděpodobnosti, jehož argumenty jsou uvedeny v závorkách a odděleny svislou čarou. Záznam P(A|B) zní takto: „pravděpodobnost události A dané události B“.
Podívejme se na příklad: přítel vám dá nějaké zařízení, ať je to telefon. Může být rozbitý (20 %) nebo dobrý (80 %). Jste schopni opravit jakékoli zařízení, které se vám dostane do rukou s pravděpodobností 0,4 nebo to nedokážete (0,6). Konečně, pokud je zařízení v provozuschopném stavu, můžete oslovit správnou osobu s pravděpodobností 0,7.
Je snadné vidět, jak podmíněná pravděpodobnost v tomto případě funguje: nemůžete se spojit s osobou, pokud je telefon rozbitý, a pokud je dobrý, nemusíte jej opravovat. Abyste tedy získali nějaké výsledky na „druhé úrovni“, musíte vědět, jaká událost byla provedena na té první.
Výpočty
Uvažujme příklady řešení problémů se sčítáním a násobením pravděpodobností pomocí dat z předchozího odstavce.
Nejprve zjistíme pravděpodobnost, že vyopravit vám dané zařízení. Aby to bylo možné, za prvé musí být vadný a za druhé se musíte vyrovnat s opravou. Toto je typický problém násobení: dostaneme 0,20,4=0,08.
Jaká je pravděpodobnost, že se okamžitě dostanete ke správné osobě? Jednodušší než jednoduché: 0,80,7=0,56. V tomto případě jste zjistili, že telefon funguje a úspěšně zavolali.
Nakonec zvažte tento scénář: dostali jste rozbitý telefon, opravili jste jej, pak vytočili číslo a osoba na opačném konci přijala telefon. Zde je již vyžadováno násobení tří složek: 0, 20, 40, 7=0, 056.
A co když máte dva nefunkční telefony najednou? Jaká je pravděpodobnost, že opravíte alespoň jeden z nich? To je problém sčítání a násobení pravděpodobností, protože se používají společné události. Řešení: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Používejte opatrně
Jak bylo zmíněno na začátku článku, použití teorie pravděpodobnosti by mělo být záměrné a vědomé.
Čím větší je série experimentů, tím více se teoreticky předpokládaná hodnota blíží té praktické. Například si hodíme mincí. Teoreticky, když víme o existenci vzorců pro sčítání a násobení pravděpodobností, můžeme předpovědět, kolikrát vypadnou hlavy a ocasy, pokud experiment provedeme 10krát. Udělali jsme experiment aShodou okolností byl poměr vynechaných stran 3 ku 7. Pokud ale provedete sérii 100, 1 000 nebo více pokusů, ukáže se, že graf rozdělení se stále více blíží teoretickému: 44 ku 56, 482 ku 518 a tak dále.
Nyní si představte, že tento experiment se neprovádí s mincí, ale s výrobou nějaké nové chemické látky, jejíž pravděpodobnost neznáme. Provedli bychom 10 experimentů a pokud bychom nedosáhli úspěšného výsledku, mohli bychom zobecnit: "látku nelze získat." Ale kdo ví, kdybychom udělali jedenáctý pokus, dosáhli bychom cíle nebo ne?
Pokud se tedy vydáte do neznáma, do neprobádané říše, teorie pravděpodobnosti nemusí platit. Každý následující pokus v tomto případě může být úspěšný a zobecnění jako „X neexistuje“nebo „X je nemožné“bude předčasné.
Závěrečné slovo
Podívali jsme se tedy na dva typy sčítání, násobení a podmíněné pravděpodobnosti. Při dalším studiu této oblasti je nutné naučit se rozlišovat situace, kdy je použit každý konkrétní vzorec. Kromě toho musíte pochopit, zda jsou pravděpodobnostní metody obecně použitelné pro řešení vašeho problému.
Pokud budete cvičit, po chvíli začnete všechny požadované operace provádět výhradně ve své mysli. Pro ty, kteří mají rádi karetní hry, lze tuto dovednost zvážitextrémně cenné – výrazně zvýšíte své šance na výhru, už jen tím, že si spočítáte pravděpodobnost vypadnutí konkrétní karty nebo barvy. Získané znalosti však lze snadno uplatnit v jiných oblastech činnosti.
